Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3491 / 974
↖ ↑ ↗
← N 79.576460°
W 26.586914°		 ← 884.08 m → N 79.576460°
W 26.542969°		 →
↑
884.42 m
↓
↑
884.42 m
↓
N 79.568506°
W 26.586914°		 ← 884.75 m →
782 195 m²		 N 79.568506°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42620849609375 y=0.11895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42620849609375 × 213)
    floor (0.42620849609375 × 8192)
    floor (3491.5)     		tx = 3491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11895751953125 × 213)
    floor (0.11895751953125 × 8192)
    floor (974.5)     		ty = 974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3491 / 974 ti = "13/3491/974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3491/974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3491 ÷ 213
    3491 ÷ 8192     		x = 0.4261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 974 ÷ 213
    974 ÷ 8192     		y = 0.118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118896484375 × 2 - 1) × π
    0.76220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39454400982105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46402919} λ = -0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39454400982105))-π/2
    2×atan(10.9631978086038)-π/2
    2×1.47983377799593-π/2
    2.95966755599186-1.57079632675     		φ = 1.38887123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38887123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.576460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3491 KachelY 974 -0.46402919 1.38887123 -26.586914 79.576460
    Oben rechts KachelX + 1 3492 KachelY 974 -0.46326220 1.38887123 -26.542969 79.576460
    Unten links KachelX 3491 KachelY + 1 975 -0.46402919 1.38873241 -26.586914 79.568506
    Unten rechts KachelX + 1 3492 KachelY + 1 975 -0.46326220 1.38873241 -26.542969 79.568506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38887123-1.38873241) × R
    0.000138819999999873 × 6371000     		dl = 884.42221999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38887123-1.38873241) × R
    0.000138819999999873 × 6371000     		dr = 884.42221999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46402919--0.46326220) × cos(1.38887123) × R
    0.000766989999999967 × 0.180923234854145 × 6371000     		do = 884.080173119837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46402919--0.46326220) × cos(1.38873241) × R
    0.000766989999999967 × 0.181059762194597 × 6371000     		du = 884.747313052854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38887123)-sin(1.38873241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180923234854145-0.181059762194597)×R²
    abs(-0.46326220--0.46402919)×0.000136527340451359×R²
    0.000766989999999967×0.000136527340451359×6371000²
    0.000766989999999967×0.000136527340451359×40589641000000     		ar = 782195.167315974m²