Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34904 / 48872
↖ ↑ ↗
← S 65.892680°
E 11.733399°		 ← 249.47 m → S 65.892680°
E 11.738892°		 →
↑
249.49 m
↓
↑
249.49 m
↓
S 65.894924°
E 11.733399°		 ← 249.45 m →
62 238 m²		 S 65.894924°
E 11.738892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532600402832031 y=0.745735168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532600402832031 × 216)
    floor (0.532600402832031 × 65536)
    floor (34904.5)     		tx = 34904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745735168457031 × 216)
    floor (0.745735168457031 × 65536)
    floor (48872.5)     		ty = 48872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34904 / 48872 ti = "16/34904/48872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34904/48872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34904 ÷ 216
    34904 ÷ 65536     		x = 0.5325927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48872 ÷ 216
    48872 ÷ 65536     		y = 0.7457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5325927734375 × 2 - 1) × π
    0.065185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20478644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54395166296277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20478644} λ = 0.20478644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54395166296277))-π/2
    2×atan(0.213535611214969)-π/2
    2×0.210376051397697-π/2
    0.420752102795394-1.57079632675     		φ = -1.15004422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20478644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.733399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15004422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.892680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34904 KachelY 48872 0.20478644 -1.15004422 11.733399 -65.892680
    Oben rechts KachelX + 1 34905 KachelY 48872 0.20488231 -1.15004422 11.738892 -65.892680
    Unten links KachelX 34904 KachelY + 1 48873 0.20478644 -1.15008338 11.733399 -65.894924
    Unten rechts KachelX + 1 34905 KachelY + 1 48873 0.20488231 -1.15008338 11.738892 -65.894924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15004422--1.15008338) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dl = 249.488360000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15004422--1.15008338) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dr = 249.488360000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20478644-0.20488231) × cos(-1.15004422) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.408447078063352 × 6371000     		do = 249.474479973398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20478644-0.20488231) × cos(-1.15008338) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.408411333206958 × 6371000     		du = 249.452647452272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15004422)-sin(-1.15008338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408447078063352-0.408411333206958)×R²
    abs(0.20488231-0.20478644)×3.57448563939045e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.57448563939045e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.57448563939045e-05×40589641000000     		ar = 62238.2553983752m²