Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3490 / 4706
↖ ↑ ↗
← N 60.565379°
W103.315430°		 ← 1 200.70 m → N 60.565379°
W103.293457°		 →
↑
1 200.87 m
↓
↑
1 200.87 m
↓
N 60.554579°
W103.315430°		 ← 1 201.10 m →
1 442 126 m²		 N 60.554579°
W103.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213043212890625 y=0.287261962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213043212890625 × 214)
    floor (0.213043212890625 × 16384)
    floor (3490.5)     		tx = 3490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287261962890625 × 214)
    floor (0.287261962890625 × 16384)
    floor (4706.5)     		ty = 4706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3490 / 4706 ti = "14/3490/4706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3490/4706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3490 ÷ 214
    3490 ÷ 16384     		x = 0.2130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4706 ÷ 214
    4706 ÷ 16384     		y = 0.2872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80319442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2872314453125 × 2 - 1) × π
    0.425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33686425660413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80319442} λ = -1.80319442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33686425660413))-π/2
    2×atan(3.80708672141645)-π/2
    2×1.31393079719936-π/2
    2.62786159439872-1.57079632675     		φ = 1.05706527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80319442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05706527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.565379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3490 KachelY 4706 -1.80319442 1.05706527 -103.315430 60.565379
    Oben rechts KachelX + 1 3491 KachelY 4706 -1.80281092 1.05706527 -103.293457 60.565379
    Unten links KachelX 3490 KachelY + 1 4707 -1.80319442 1.05687678 -103.315430 60.554579
    Unten rechts KachelX + 1 3491 KachelY + 1 4707 -1.80281092 1.05687678 -103.293457 60.554579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05706527-1.05687678) × R
    0.000188489999999986 × 6371000     		dl = 1200.86978999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05706527-1.05687678) × R
    0.000188489999999986 × 6371000     		dr = 1200.86978999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80319442--1.80281092) × cos(1.05706527) × R
    0.000383500000000092 × 0.491430100752167 × 6371000     		do = 1200.70059942089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80319442--1.80281092) × cos(1.05687678) × R
    0.000383500000000092 × 0.49159425117045 × 6371000     		du = 1201.10166460865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05706527)-sin(1.05687678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491430100752167-0.49159425117045)×R²
    abs(-1.80281092--1.80319442)×0.000164150418283215×R²
    0.000383500000000092×0.000164150418283215×6371000²
    0.000383500000000092×0.000164150418283215×40589641000000     		ar = 1442125.89448327m²