Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34861 / 48533
↖ ↑ ↗
← S 65.120706°
E 11.497192°		 ← 256.99 m → S 65.120706°
E 11.502686°		 →
↑
256.94 m
↓
↑
256.94 m
↓
S 65.123017°
E 11.497192°		 ← 256.97 m →
66 029 m²		 S 65.123017°
E 11.502686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531944274902344 y=0.740562438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531944274902344 × 216)
    floor (0.531944274902344 × 65536)
    floor (34861.5)     		tx = 34861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740562438964844 × 216)
    floor (0.740562438964844 × 65536)
    floor (48533.5)     		ty = 48533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34861 / 48533 ti = "16/34861/48533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34861/48533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34861 ÷ 216
    34861 ÷ 65536     		x = 0.531936645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48533 ÷ 216
    48533 ÷ 65536     		y = 0.740554809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531936645507812 × 2 - 1) × π
    0.063873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20066386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740554809570312 × 2 - 1) × π
    -0.481109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51145044502037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20066386} λ = 0.20066386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51145044502037))-π/2
    2×atan(0.220589792443774)-π/2
    2×0.217112799630276-π/2
    0.434225599260551-1.57079632675     		φ = -1.13657073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20066386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.497192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13657073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.120706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34861 KachelY 48533 0.20066386 -1.13657073 11.497192 -65.120706
    Oben rechts KachelX + 1 34862 KachelY 48533 0.20075974 -1.13657073 11.502686 -65.120706
    Unten links KachelX 34861 KachelY + 1 48534 0.20066386 -1.13661106 11.497192 -65.123017
    Unten rechts KachelX + 1 34862 KachelY + 1 48534 0.20075974 -1.13661106 11.502686 -65.123017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13657073--1.13661106) × R
    4.03299999998108e-05 × 6371000     		dl = 256.942429998795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13657073--1.13661106) × R
    4.03299999998108e-05 × 6371000     		dr = 256.942429998795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20066386-0.20075974) × cos(-1.13657073) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.420707992009502 × 6371000     		do = 256.990099566812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20066386-0.20075974) × cos(-1.13661106) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.420671404448176 × 6371000     		du = 256.967750000827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13657073)-sin(-1.13661106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420707992009502-0.420671404448176)×R²
    abs(0.20075974-0.20066386)×3.6587561325796e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.6587561325796e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.6587561325796e-05×40589641000000     		ar = 66028.7894015732m²