Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34846 / 34783
↖ ↑ ↗
← N 64.207572°
W 84.292603°		 ← 132.89 m → N 64.207572°
W 84.289856°		 →
↑
132.90 m
↓
↑
132.90 m
↓
N 64.206377°
W 84.292603°		 ← 132.90 m →
17 662 m²		 N 64.206377°
W 84.289856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265857696533203 y=0.265377044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265857696533203 × 217)
    floor (0.265857696533203 × 131072)
    floor (34846.5)     		tx = 34846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265377044677734 × 217)
    floor (0.265377044677734 × 131072)
    floor (34783.5)     		ty = 34783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34846 / 34783 ti = "17/34846/34783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34846/34783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34846 ÷ 217
    34846 ÷ 131072     		x = 0.265853881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34783 ÷ 217
    34783 ÷ 131072     		y = 0.265373229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265853881835938 × 2 - 1) × π
    -0.468292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47118345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265373229980469 × 2 - 1) × π
    0.469253540039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.47420347401559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47118345} λ = -1.47118345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47420347401559))-π/2
    2×atan(4.36755551559952)-π/2
    2×1.34571493441183-π/2
    2.69142986882366-1.57079632675     		φ = 1.12063354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47118345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.292603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12063354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.207572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34846 KachelY 34783 -1.47118345 1.12063354 -84.292603 64.207572
    Oben rechts KachelX + 1 34847 KachelY 34783 -1.47113551 1.12063354 -84.289856 64.207572
    Unten links KachelX 34846 KachelY + 1 34784 -1.47118345 1.12061268 -84.292603 64.206377
    Unten rechts KachelX + 1 34847 KachelY + 1 34784 -1.47113551 1.12061268 -84.289856 64.206377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12063354-1.12061268) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dl = 132.899060000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12063354-1.12061268) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dr = 132.899060000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47118345--1.47113551) × cos(1.12063354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435112109245155 × 6371000     		do = 132.894437949075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47118345--1.47113551) × cos(1.12061268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435130890999766 × 6371000     		du = 132.900174380376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12063354)-sin(1.12061268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435112109245155-0.435130890999766)×R²
    abs(-1.47113551--1.47118345)×1.87817546110081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87817546110081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87817546110081e-05×40589641000000     		ar = 17661.9270664953m²