Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34839 / 22585
↖ ↑ ↗
← N 75.457899°
W 84.311829°		 ← 76.69 m → N 75.457899°
W 84.309082°		 →
↑
76.64 m
↓
↑
76.64 m
↓
N 75.457210°
W 84.311829°		 ← 76.69 m →
5 878 m²		 N 75.457210°
W 84.309082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265804290771484 y=0.172313690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265804290771484 × 217)
    floor (0.265804290771484 × 131072)
    floor (34839.5)     		tx = 34839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172313690185547 × 217)
    floor (0.172313690185547 × 131072)
    floor (22585.5)     		ty = 22585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34839 / 22585 ti = "17/34839/22585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34839/22585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34839 ÷ 217
    34839 ÷ 131072     		x = 0.265800476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22585 ÷ 217
    22585 ÷ 131072     		y = 0.172309875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265800476074219 × 2 - 1) × π
    -0.468399047851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.47151901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172309875488281 × 2 - 1) × π
    0.655380249023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.05893777558103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47151901} λ = -1.47151901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05893777558103))-π/2
    2×atan(7.83764005441372)-π/2
    2×1.44389256084662-π/2
    2.88778512169324-1.57079632675     		φ = 1.31698879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47151901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.311829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31698879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.457899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34839 KachelY 22585 -1.47151901 1.31698879 -84.311829 75.457899
    Oben rechts KachelX + 1 34840 KachelY 22585 -1.47147107 1.31698879 -84.309082 75.457899
    Unten links KachelX 34839 KachelY + 1 22586 -1.47151901 1.31697676 -84.311829 75.457210
    Unten rechts KachelX + 1 34840 KachelY + 1 22586 -1.47147107 1.31697676 -84.309082 75.457210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31698879-1.31697676) × R
    1.20299999999407e-05 × 6371000     		dl = 76.6431299996222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31698879-1.31697676) × R
    1.20299999999407e-05 × 6371000     		dr = 76.6431299996222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47151901--1.47147107) × cos(1.31698879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251091326690318 × 6371000     		do = 76.689754261922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47151901--1.47147107) × cos(1.31697676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251102971271863 × 6371000     		du = 76.6933108168572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31698879)-sin(1.31697676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251091326690318-0.251102971271863)×R²
    abs(-1.47147107--1.47151901)×1.16445815445121e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16445815445121e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16445815445121e-05×40589641000000     		ar = 5877.87909839432m²