Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34838 / 22586
↖ ↑ ↗
← N 75.457210°
W 84.314575°		 ← 76.68 m → N 75.457210°
W 84.311829°		 →
↑
76.71 m
↓
↑
76.71 m
↓
N 75.456520°
W 84.314575°		 ← 76.68 m →
5 882 m²		 N 75.456520°
W 84.311829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265796661376953 y=0.172321319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265796661376953 × 217)
    floor (0.265796661376953 × 131072)
    floor (34838.5)     		tx = 34838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172321319580078 × 217)
    floor (0.172321319580078 × 131072)
    floor (22586.5)     		ty = 22586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34838 / 22586 ti = "17/34838/22586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34838/22586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34838 ÷ 217
    34838 ÷ 131072     		x = 0.265792846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22586 ÷ 217
    22586 ÷ 131072     		y = 0.172317504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265792846679688 × 2 - 1) × π
    -0.468414306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47156694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172317504882812 × 2 - 1) × π
    0.655364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05888983868141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47156694} λ = -1.47156694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05888983868141))-π/2
    2×atan(7.83726435125427)-π/2
    2×1.44388654243724-π/2
    2.88777308487449-1.57079632675     		φ = 1.31697676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47156694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.314575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31697676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.457210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34838 KachelY 22586 -1.47156694 1.31697676 -84.314575 75.457210
    Oben rechts KachelX + 1 34839 KachelY 22586 -1.47151901 1.31697676 -84.311829 75.457210
    Unten links KachelX 34838 KachelY + 1 22587 -1.47156694 1.31696472 -84.314575 75.456520
    Unten rechts KachelX + 1 34839 KachelY + 1 22587 -1.47151901 1.31696472 -84.311829 75.456520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31697676-1.31696472) × R
    1.20399999998799e-05 × 6371000     		dl = 76.706839999235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31697676-1.31696472) × R
    1.20399999998799e-05 × 6371000     		dr = 76.706839999235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47156694--1.47151901) × cos(1.31697676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251102971271863 × 6371000     		do = 76.6773130466547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47156694--1.47151901) × cos(1.31696472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251114625496641 × 6371000     		du = 76.6808718043911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31697676)-sin(1.31696472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251102971271863-0.251114625496641)×R²
    abs(-1.47151901--1.47156694)×1.16542247782236e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16542247782236e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16542247782236e-05×40589641000000     		ar = 5881.81087397512m²