Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34836 / 10262
↖ ↑ ↗
← N 81.914692°
W 84.320068°		 ← 42.96 m → N 81.914692°
W 84.317322°		 →
↑
42.94 m
↓
↑
42.94 m
↓
N 81.914306°
W 84.320068°		 ← 42.96 m →
1 845 m²		 N 81.914306°
W 84.317322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265781402587891 y=0.0782966613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265781402587891 × 217)
    floor (0.265781402587891 × 131072)
    floor (34836.5)     		tx = 34836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0782966613769531 × 217)
    floor (0.0782966613769531 × 131072)
    floor (10262.5)     		ty = 10262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34836 / 10262 ti = "17/34836/10262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34836/10262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34836 ÷ 217
    34836 ÷ 131072     		x = 0.265777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10262 ÷ 217
    10262 ÷ 131072     		y = 0.0782928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.46844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47166282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0782928466796875 × 2 - 1) × π
    0.843414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.64966418959898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47166282} λ = -1.47166282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.64966418959898))-π/2
    2×atan(14.1492863699587)-π/2
    2×1.50023870547284-π/2
    3.00047741094569-1.57079632675     		φ = 1.42968108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47166282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.320068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42968108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.914692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34836 KachelY 10262 -1.47166282 1.42968108 -84.320068 81.914692
    Oben rechts KachelX + 1 34837 KachelY 10262 -1.47161488 1.42968108 -84.317322 81.914692
    Unten links KachelX 34836 KachelY + 1 10263 -1.47166282 1.42967434 -84.320068 81.914306
    Unten rechts KachelX + 1 34837 KachelY + 1 10263 -1.47161488 1.42967434 -84.317322 81.914306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42968108-1.42967434) × R
    6.73999999989405e-06 × 6371000     		dl = 42.940539999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42968108-1.42967434) × R
    6.73999999989405e-06 × 6371000     		dr = 42.940539999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47166282--1.47161488) × cos(1.42968108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.140647362851205 × 6371000     		do = 42.9573248778497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47166282--1.47161488) × cos(1.42967434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.140654035850762 × 6371000     		du = 42.9593629836774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42968108)-sin(1.42967434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140647362851205-0.140654035850762)×R²
    abs(-1.47161488--1.47166282)×6.67299955681155e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.67299955681155e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.67299955681155e-06×40589641000000     		ar = 1844.65448583354m²