Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34835 / 22642
↖ ↑ ↗
← N 75.418538°
W 84.322815°		 ← 76.89 m → N 75.418538°
W 84.320068°		 →
↑
76.83 m
↓
↑
76.83 m
↓
N 75.417847°
W 84.322815°		 ← 76.90 m →
5 908 m²		 N 75.417847°
W 84.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265773773193359 y=0.172748565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265773773193359 × 217)
    floor (0.265773773193359 × 131072)
    floor (34835.5)     		tx = 34835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172748565673828 × 217)
    floor (0.172748565673828 × 131072)
    floor (22642.5)     		ty = 22642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34835 / 22642 ti = "17/34835/22642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34835/22642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34835 ÷ 217
    34835 ÷ 131072     		x = 0.265769958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22642 ÷ 217
    22642 ÷ 131072     		y = 0.172744750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265769958496094 × 2 - 1) × π
    -0.468460083007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.47171076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172744750976562 × 2 - 1) × π
    0.654510498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05620537230269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47171076} λ = -1.47171076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05620537230269))-π/2
    2×atan(7.81625369242331)-π/2
    2×1.44354906544848-π/2
    2.88709813089696-1.57079632675     		φ = 1.31630180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47171076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.322815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31630180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.418538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34835 KachelY 22642 -1.47171076 1.31630180 -84.322815 75.418538
    Oben rechts KachelX + 1 34836 KachelY 22642 -1.47166282 1.31630180 -84.320068 75.418538
    Unten links KachelX 34835 KachelY + 1 22643 -1.47171076 1.31628974 -84.322815 75.417847
    Unten rechts KachelX + 1 34836 KachelY + 1 22643 -1.47166282 1.31628974 -84.320068 75.417847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31630180-1.31628974) × R
    1.20599999999804e-05 × 6371000     		dl = 76.8342599998753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31630180-1.31628974) × R
    1.20599999999804e-05 × 6371000     		dr = 76.8342599998753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47171076--1.47166282) × cos(1.31630180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251756248562925 × 6371000     		do = 76.892838516905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47171076--1.47166282) × cos(1.31628974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251767920100162 × 6371000     		du = 76.8964033048024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31630180)-sin(1.31628974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251756248562925-0.251767920100162)×R²
    abs(-1.47166282--1.47171076)×1.16715372363574e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16715372363574e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16715372363574e-05×40589641000000     		ar = 5908.14129569638m²