Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34835 / 2033
↖ ↑ ↗
← N 84.545279°
W 84.322815°		 ← 29.03 m → N 84.545279°
W 84.320068°		 →
↑
29.05 m
↓
↑
29.05 m
↓
N 84.545017°
W 84.322815°		 ← 29.03 m →
843 m²		 N 84.545017°
W 84.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265773773193359 y=0.0155143737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265773773193359 × 217)
    floor (0.265773773193359 × 131072)
    floor (34835.5)     		tx = 34835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0155143737792969 × 217)
    floor (0.0155143737792969 × 131072)
    floor (2033.5)     		ty = 2033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34835 / 2033 ti = "17/34835/2033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34835/2033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34835 ÷ 217
    34835 ÷ 131072     		x = 0.265769958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2033 ÷ 217
    2033 ÷ 131072     		y = 0.0155105590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265769958496094 × 2 - 1) × π
    -0.468460083007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.47171076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0155105590820312 × 2 - 1) × π
    0.968978881835938 × 3.1415926535     		Φ = 3.04413693657243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47171076} λ = -1.47171076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04413693657243))-π/2
    2×atan(20.9919060360455)-π/2
    2×1.52319490433754-π/2
    3.04638980867508-1.57079632675     		φ = 1.47559348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47171076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.322815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47559348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.545279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34835 KachelY 2033 -1.47171076 1.47559348 -84.322815 84.545279
    Oben rechts KachelX + 1 34836 KachelY 2033 -1.47166282 1.47559348 -84.320068 84.545279
    Unten links KachelX 34835 KachelY + 1 2034 -1.47171076 1.47558892 -84.322815 84.545017
    Unten rechts KachelX + 1 34836 KachelY + 1 2034 -1.47166282 1.47558892 -84.320068 84.545017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47559348-1.47558892) × R
    4.55999999982026e-06 × 6371000     		dl = 29.0517599988549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47559348-1.47558892) × R
    4.55999999982026e-06 × 6371000     		dr = 29.0517599988549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47171076--1.47166282) × cos(1.47559348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0950590988185812 × 6371000     		do = 29.0334956003793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47171076--1.47166282) × cos(1.47558892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0950636381682292 × 6371000     		du = 29.0348820346046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47559348)-sin(1.47558892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0950590988185812-0.0950636381682292)×R²
    abs(-1.47166282--1.47171076)×4.53934964794733e-06×R²
    4.79399999999686e-05×4.53934964794733e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×4.53934964794733e-06×40589641000000     		ar = 843.494285155199m²