Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34835 / 10261
↖ ↑ ↗
← N 81.915079°
W 84.322815°		 ← 42.96 m → N 81.915079°
W 84.320068°		 →
↑
43 m
↓
↑
43 m
↓
N 81.914692°
W 84.322815°		 ← 42.96 m →
1 847 m²		 N 81.914692°
W 84.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265773773193359 y=0.0782890319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265773773193359 × 217)
    floor (0.265773773193359 × 131072)
    floor (34835.5)     		tx = 34835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0782890319824219 × 217)
    floor (0.0782890319824219 × 131072)
    floor (10261.5)     		ty = 10261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34835 / 10261 ti = "17/34835/10261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34835/10261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34835 ÷ 217
    34835 ÷ 131072     		x = 0.265769958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10261 ÷ 217
    10261 ÷ 131072     		y = 0.0782852172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265769958496094 × 2 - 1) × π
    -0.468460083007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.47171076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0782852172851562 × 2 - 1) × π
    0.843429565429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.6497121264986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47171076} λ = -1.47171076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6497121264986))-π/2
    2×atan(14.1499646591365)-π/2
    2×1.50024207649201-π/2
    3.00048415298402-1.57079632675     		φ = 1.42968783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47171076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.322815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42968783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.915079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34835 KachelY 10261 -1.47171076 1.42968783 -84.322815 81.915079
    Oben rechts KachelX + 1 34836 KachelY 10261 -1.47166282 1.42968783 -84.320068 81.915079
    Unten links KachelX 34835 KachelY + 1 10262 -1.47171076 1.42968108 -84.322815 81.914692
    Unten rechts KachelX + 1 34836 KachelY + 1 10262 -1.47166282 1.42968108 -84.320068 81.914692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42968783-1.42968108) × R
    6.75000000005532e-06 × 6371000     		dl = 43.0042500003525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42968783-1.42968108) × R
    6.75000000005532e-06 × 6371000     		dr = 43.0042500003525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47171076--1.47166282) × cos(1.42968783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.140640679944652 × 6371000     		do = 42.9552837461703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47171076--1.47166282) × cos(1.42968108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.140647362851205 × 6371000     		du = 42.9573248778497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42968783)-sin(1.42968108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140640679944652-0.140647362851205)×R²
    abs(-1.47166282--1.47171076)×6.68290655328474e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.68290655328474e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.68290655328474e-06×40589641000000     		ar = 1847.30364974117m²