Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34834 / 22643
↖ ↑ ↗
← N 75.417847°
W 84.325561°		 ← 76.88 m → N 75.417847°
W 84.322815°		 →
↑
76.90 m
↓
↑
76.90 m
↓
N 75.417155°
W 84.325561°		 ← 76.88 m →
5 912 m²		 N 75.417155°
W 84.322815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265766143798828 y=0.172756195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265766143798828 × 217)
    floor (0.265766143798828 × 131072)
    floor (34834.5)     		tx = 34834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172756195068359 × 217)
    floor (0.172756195068359 × 131072)
    floor (22643.5)     		ty = 22643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34834 / 22643 ti = "17/34834/22643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34834/22643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34834 ÷ 217
    34834 ÷ 131072     		x = 0.265762329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22643 ÷ 217
    22643 ÷ 131072     		y = 0.172752380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265762329101562 × 2 - 1) × π
    -0.468475341796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47175869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172752380371094 × 2 - 1) × π
    0.654495239257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.05615743540307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47175869} λ = -1.47175869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05615743540307))-π/2
    2×atan(7.81587901443517)-π/2
    2×1.44354303110159-π/2
    2.88708606220319-1.57079632675     		φ = 1.31628974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47175869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.325561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31628974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.417847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34834 KachelY 22643 -1.47175869 1.31628974 -84.325561 75.417847
    Oben rechts KachelX + 1 34835 KachelY 22643 -1.47171076 1.31628974 -84.322815 75.417847
    Unten links KachelX 34834 KachelY + 1 22644 -1.47175869 1.31627767 -84.325561 75.417155
    Unten rechts KachelX + 1 34835 KachelY + 1 22644 -1.47171076 1.31627767 -84.322815 75.417155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31628974-1.31627767) × R
    1.20699999999196e-05 × 6371000     		dl = 76.8979699994881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31628974-1.31627767) × R
    1.20699999999196e-05 × 6371000     		dr = 76.8979699994881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47175869--1.47171076) × cos(1.31628974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251767920100162 × 6371000     		do = 76.8803631707103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47175869--1.47171076) × cos(1.31627767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251779601278626 × 6371000     		du = 76.8839301590789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31628974)-sin(1.31627767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251767920100162-0.251779601278626)×R²
    abs(-1.47171076--1.47175869)×1.1681178464229e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1681178464229e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1681178464229e-05×40589641000000     		ar = 5912.08100781299m²