Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34831 / 2062
↖ ↑ ↗
← N 84.537702°
W 84.333801°		 ← 29.07 m → N 84.537702°
W 84.331055°		 →
↑
29.05 m
↓
↑
29.05 m
↓
N 84.537441°
W 84.333801°		 ← 29.07 m →
844 m²		 N 84.537441°
W 84.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265743255615234 y=0.0157356262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265743255615234 × 217)
    floor (0.265743255615234 × 131072)
    floor (34831.5)     		tx = 34831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0157356262207031 × 217)
    floor (0.0157356262207031 × 131072)
    floor (2062.5)     		ty = 2062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34831 / 2062 ti = "17/34831/2062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34831/2062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34831 ÷ 217
    34831 ÷ 131072     		x = 0.265739440917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2062 ÷ 217
    2062 ÷ 131072     		y = 0.0157318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265739440917969 × 2 - 1) × π
    -0.468521118164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.47190250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0157318115234375 × 2 - 1) × π
    0.968536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 3.04274676648344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47190250} λ = -1.47190250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04274676648344))-π/2
    2×atan(20.9627439909614)-π/2
    2×1.52312878444082-π/2
    3.04625756888165-1.57079632675     		φ = 1.47546124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47190250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.333801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47546124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.537702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34831 KachelY 2062 -1.47190250 1.47546124 -84.333801 84.537702
    Oben rechts KachelX + 1 34832 KachelY 2062 -1.47185457 1.47546124 -84.331055 84.537702
    Unten links KachelX 34831 KachelY + 1 2063 -1.47190250 1.47545668 -84.333801 84.537441
    Unten rechts KachelX + 1 34832 KachelY + 1 2063 -1.47185457 1.47545668 -84.331055 84.537441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47546124-1.47545668) × R
    4.56000000004231e-06 × 6371000     		dl = 29.0517600002695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47546124-1.47545668) × R
    4.56000000004231e-06 × 6371000     		dr = 29.0517600002695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47190250--1.47185457) × cos(1.47546124) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.0951907391554856 × 6371000     		do = 29.0676373456027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47190250--1.47185457) × cos(1.47545668) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.0951952784477708 × 6371000     		du = 29.0690234731097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47546124)-sin(1.47545668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0951907391554856-0.0951952784477708)×R²
    abs(-1.47185457--1.47190250)×4.53929228511063e-06×R²
    4.79299999998073e-05×4.53929228511063e-06×6371000²
    4.79299999998073e-05×4.53929228511063e-06×40589641000000     		ar = 844.486158743671m²