Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34828 / 10270
↖ ↑ ↗
← N 81.911601°
W 84.342041°		 ← 42.96 m → N 81.911601°
W 84.339295°		 →
↑
43 m
↓
↑
43 m
↓
N 81.911215°
W 84.342041°		 ← 42.97 m →
1 848 m²		 N 81.911215°
W 84.339295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265720367431641 y=0.0783576965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265720367431641 × 217)
    floor (0.265720367431641 × 131072)
    floor (34828.5)     		tx = 34828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0783576965332031 × 217)
    floor (0.0783576965332031 × 131072)
    floor (10270.5)     		ty = 10270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34828 / 10270 ti = "17/34828/10270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34828/10270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34828 ÷ 217
    34828 ÷ 131072     		x = 0.265716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10270 ÷ 217
    10270 ÷ 131072     		y = 0.0783538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.46856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47204631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0783538818359375 × 2 - 1) × π
    0.843292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.64928069440202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47204631} λ = -1.47204631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.64928069440202))-π/2
    2×atan(14.1438612269201)-π/2
    2×1.50021173155914-π/2
    3.00042346311828-1.57079632675     		φ = 1.42962714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47204631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42962714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.911601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34828 KachelY 10270 -1.47204631 1.42962714 -84.342041 81.911601
    Oben rechts KachelX + 1 34829 KachelY 10270 -1.47199838 1.42962714 -84.339295 81.911601
    Unten links KachelX 34828 KachelY + 1 10271 -1.47204631 1.42962039 -84.342041 81.911215
    Unten rechts KachelX + 1 34829 KachelY + 1 10271 -1.47199838 1.42962039 -84.339295 81.911215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42962714-1.42962039) × R
    6.75000000005532e-06 × 6371000     		dl = 43.0042500003525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42962714-1.42962039) × R
    6.75000000005532e-06 × 6371000     		dr = 43.0042500003525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47204631--1.47199838) × cos(1.42962714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.140700766469779 × 6371000     		do = 42.9646716717939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47204631--1.47199838) × cos(1.42962039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.140707449318704 × 6371000     		du = 42.9667123601079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42962714)-sin(1.42962039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140700766469779-0.140707449318704)×R²
    abs(-1.47199838--1.47204631)×6.68284892510473e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.68284892510473e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.68284892510473e-06×40589641000000     		ar = 1847.70736078904m²