Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34822 / 22534
↖ ↑ ↗
← N 75.493030°
W 84.358520°		 ← 76.49 m → N 75.493030°
W 84.355774°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
N 75.492342°
W 84.358520°		 ← 76.50 m →
5 853 m²		 N 75.492342°
W 84.355774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265674591064453 y=0.171924591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265674591064453 × 217)
    floor (0.265674591064453 × 131072)
    floor (34822.5)     		tx = 34822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171924591064453 × 217)
    floor (0.171924591064453 × 131072)
    floor (22534.5)     		ty = 22534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34822 / 22534 ti = "17/34822/22534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34822/22534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34822 ÷ 217
    34822 ÷ 131072     		x = 0.265670776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22534 ÷ 217
    22534 ÷ 131072     		y = 0.171920776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265670776367188 × 2 - 1) × π
    -0.468658447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47233393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171920776367188 × 2 - 1) × π
    0.656158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06138255746165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47233393} λ = -1.47233393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06138255746165))-π/2
    2×atan(7.85682481652946)-π/2
    2×1.44419912970008-π/2
    2.88839825940016-1.57079632675     		φ = 1.31760193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47233393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.358520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31760193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.493030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34822 KachelY 22534 -1.47233393 1.31760193 -84.358520 75.493030
    Oben rechts KachelX + 1 34823 KachelY 22534 -1.47228600 1.31760193 -84.355774 75.493030
    Unten links KachelX 34822 KachelY + 1 22535 -1.47233393 1.31758992 -84.358520 75.492342
    Unten rechts KachelX + 1 34823 KachelY + 1 22535 -1.47228600 1.31758992 -84.355774 75.492342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31760193-1.31758992) × R
    1.20099999998402e-05 × 6371000     		dl = 76.5157099989819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31760193-1.31758992) × R
    1.20099999998402e-05 × 6371000     		dr = 76.5157099989819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47233393--1.47228600) × cos(1.31760193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250497782450103 × 6371000     		do = 76.4925113595085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47233393--1.47228600) × cos(1.31758992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250509409519286 × 6371000     		du = 76.4960618249573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31760193)-sin(1.31758992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250497782450103-0.250509409519286)×R²
    abs(-1.47228600--1.47233393)×1.16270691834508e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16270691834508e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16270691834508e-05×40589641000000     		ar = 5853.01464959355m²