Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34812 / 22524
↖ ↑ ↗
← N 75.499909°
W 84.385986°		 ← 76.46 m → N 75.499909°
W 84.383240°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
N 75.499220°
W 84.385986°		 ← 76.46 m →
5 850 m²		 N 75.499220°
W 84.383240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265598297119141 y=0.171848297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265598297119141 × 217)
    floor (0.265598297119141 × 131072)
    floor (34812.5)     		tx = 34812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171848297119141 × 217)
    floor (0.171848297119141 × 131072)
    floor (22524.5)     		ty = 22524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34812 / 22524 ti = "17/34812/22524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34812/22524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34812 ÷ 217
    34812 ÷ 131072     		x = 0.265594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22524 ÷ 217
    22524 ÷ 131072     		y = 0.171844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.46881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47281330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171844482421875 × 2 - 1) × π
    0.65631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06186192645786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47281330} λ = -1.47281330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06186192645786))-π/2
    2×atan(7.86059203762744)-π/2
    2×1.4442591562048-π/2
    2.88851831240961-1.57079632675     		φ = 1.31772199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47281330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.385986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31772199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.499909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34812 KachelY 22524 -1.47281330 1.31772199 -84.385986 75.499909
    Oben rechts KachelX + 1 34813 KachelY 22524 -1.47276537 1.31772199 -84.383240 75.499909
    Unten links KachelX 34812 KachelY + 1 22525 -1.47281330 1.31770998 -84.385986 75.499220
    Unten rechts KachelX + 1 34813 KachelY + 1 22525 -1.47276537 1.31770998 -84.383240 75.499220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31772199-1.31770998) × R
    1.20099999998402e-05 × 6371000     		dl = 76.5157099989819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31772199-1.31770998) × R
    1.20099999998402e-05 × 6371000     		dr = 76.5157099989819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47281330--1.47276537) × cos(1.31772199) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250381548497183 × 6371000     		do = 76.45701792369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47281330--1.47276537) × cos(1.31770998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250393175927489 × 6371000     		du = 76.4605684994119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31772199)-sin(1.31770998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250381548497183-0.250393175927489)×R²
    abs(-1.47276537--1.47281330)×1.16274303059161e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16274303059161e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16274303059161e-05×40589641000000     		ar = 5850.29884845258m²