Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34798 / 36387
↖ ↑ ↗
← S 19.492486°
E 11.151123°		 ← 575.84 m → S 19.492486°
E 11.156616°		 →
↑
575.81 m
↓
↑
575.81 m
↓
S 19.497664°
E 11.151123°		 ← 575.82 m →
331 570 m²		 S 19.497664°
E 11.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530982971191406 y=0.555229187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530982971191406 × 216)
    floor (0.530982971191406 × 65536)
    floor (34798.5)     		tx = 34798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555229187011719 × 216)
    floor (0.555229187011719 × 65536)
    floor (36387.5)     		ty = 36387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34798 / 36387 ti = "16/34798/36387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34798/36387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34798 ÷ 216
    34798 ÷ 65536     		x = 0.530975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36387 ÷ 216
    36387 ÷ 65536     		y = 0.555221557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530975341796875 × 2 - 1) × π
    0.06195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19462381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555221557617188 × 2 - 1) × π
    -0.110443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.346967279449966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19462381} λ = 0.19462381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346967279449966))-π/2
    2×atan(0.706828455695226)-π/2
    2×0.61529413399685-π/2
    1.2305882679937-1.57079632675     		φ = -0.34020806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19462381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34020806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.492486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34798 KachelY 36387 0.19462381 -0.34020806 11.151123 -19.492486
    Oben rechts KachelX + 1 34799 KachelY 36387 0.19471969 -0.34020806 11.156616 -19.492486
    Unten links KachelX 34798 KachelY + 1 36388 0.19462381 -0.34029844 11.151123 -19.497664
    Unten rechts KachelX + 1 34799 KachelY + 1 36388 0.19471969 -0.34029844 11.156616 -19.497664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34020806--0.34029844) × R
    9.0380000000001e-05 × 6371000     		dl = 575.810980000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34020806--0.34029844) × R
    9.0380000000001e-05 × 6371000     		dr = 575.810980000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19462381-0.19471969) × cos(-0.34020806) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.94268525979902 × 6371000     		do = 575.840686122372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19462381-0.19471969) × cos(-0.34029844) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.942655097658148 × 6371000     		du = 575.82226153398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34020806)-sin(-0.34029844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94268525979902-0.942655097658148)×R²
    abs(0.19471969-0.19462381)×3.01621408722585e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.01621408722585e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.01621408722585e-05×40589641000000     		ar = 331570.085485664m²