Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34778 / 48610
↖ ↑ ↗
← S 65.298059°
E 11.041260°		 ← 255.25 m → S 65.298059°
E 11.046753°		 →
↑
255.22 m
↓
↑
255.22 m
↓
S 65.300355°
E 11.041260°		 ← 255.22 m →
65 142 m²		 S 65.300355°
E 11.046753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530677795410156 y=0.741737365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530677795410156 × 216)
    floor (0.530677795410156 × 65536)
    floor (34778.5)     		tx = 34778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741737365722656 × 216)
    floor (0.741737365722656 × 65536)
    floor (48610.5)     		ty = 48610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34778 / 48610 ti = "16/34778/48610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34778/48610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34778 ÷ 216
    34778 ÷ 65536     		x = 0.530670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48610 ÷ 216
    48610 ÷ 65536     		y = 0.741729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530670166015625 × 2 - 1) × π
    0.06134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19270634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.48345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51883272756186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19270634} λ = 0.19270634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51883272756186))-π/2
    2×atan(0.21896733236794)-π/2
    2×0.215565097875677-π/2
    0.431130195751354-1.57079632675     		φ = -1.13966613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19270634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.041260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13966613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.298059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34778 KachelY 48610 0.19270634 -1.13966613 11.041260 -65.298059
    Oben rechts KachelX + 1 34779 KachelY 48610 0.19280221 -1.13966613 11.046753 -65.298059
    Unten links KachelX 34778 KachelY + 1 48611 0.19270634 -1.13970619 11.041260 -65.300355
    Unten rechts KachelX + 1 34779 KachelY + 1 48611 0.19280221 -1.13970619 11.046753 -65.300355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13966613--1.13970619) × R
    4.00600000001194e-05 × 6371000     		dl = 255.222260000761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13966613--1.13970619) × R
    4.00600000001194e-05 × 6371000     		dr = 255.222260000761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19270634-0.19280221) × cos(-1.13966613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417897846143613 × 6371000     		do = 255.246893533855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19270634-0.19280221) × cos(-1.13970619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417861451537731 × 6371000     		du = 255.224664153688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13966613)-sin(-1.13970619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417897846143613-0.417861451537731)×R²
    abs(0.19280221-0.19270634)×3.63946058816733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63946058816733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63946058816733e-05×40589641000000     		ar = 65141.8523179814m²