Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34777 / 48609
↖ ↑ ↗
← S 65.295763°
E 11.035766°		 ← 255.30 m → S 65.295763°
E 11.041260°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
S 65.298059°
E 11.035766°		 ← 255.27 m →
65 171 m²		 S 65.298059°
E 11.041260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530662536621094 y=0.741722106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530662536621094 × 216)
    floor (0.530662536621094 × 65536)
    floor (34777.5)     		tx = 34777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741722106933594 × 216)
    floor (0.741722106933594 × 65536)
    floor (48609.5)     		ty = 48609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34777 / 48609 ti = "16/34777/48609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34777/48609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34777 ÷ 216
    34777 ÷ 65536     		x = 0.530654907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48609 ÷ 216
    48609 ÷ 65536     		y = 0.741714477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530654907226562 × 2 - 1) × π
    0.061309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19261046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741714477539062 × 2 - 1) × π
    -0.483428955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51873685376262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19261046} λ = 0.19261046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51873685376262))-π/2
    2×atan(0.218988326604386)-π/2
    2×0.215585131475186-π/2
    0.431170262950373-1.57079632675     		φ = -1.13962606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19261046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.035766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13962606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.295763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34777 KachelY 48609 0.19261046 -1.13962606 11.035766 -65.295763
    Oben rechts KachelX + 1 34778 KachelY 48609 0.19270634 -1.13962606 11.041260 -65.295763
    Unten links KachelX 34777 KachelY + 1 48610 0.19261046 -1.13966613 11.035766 -65.298059
    Unten rechts KachelX + 1 34778 KachelY + 1 48610 0.19270634 -1.13966613 11.041260 -65.298059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13962606--1.13966613) × R
    4.00699999998366e-05 × 6371000     		dl = 255.285969998959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13962606--1.13966613) × R
    4.00699999998366e-05 × 6371000     		dr = 255.285969998959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19261046-0.19270634) × cos(-1.13962606) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.417934249163623 × 6371000     		do = 255.295754644268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19261046-0.19270634) × cos(-1.13966613) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.417897846143613 × 6371000     		du = 255.273517805619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13962606)-sin(-1.13966613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417934249163623-0.417897846143613)×R²
    abs(0.19270634-0.19261046)×3.64030200102894e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.64030200102894e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.64030200102894e-05×40589641000000     		ar = 65170.58599355m²