Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34772 / 36414
↖ ↑ ↗
← S 19.632240°
E 11.008301°		 ← 575.34 m → S 19.632240°
E 11.013794°		 →
↑
575.30 m
↓
↑
575.30 m
↓
S 19.637414°
E 11.008301°		 ← 575.32 m →
330 990 m²		 S 19.637414°
E 11.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530586242675781 y=0.555641174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530586242675781 × 216)
    floor (0.530586242675781 × 65536)
    floor (34772.5)     		tx = 34772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555641174316406 × 216)
    floor (0.555641174316406 × 65536)
    floor (36414.5)     		ty = 36414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34772 / 36414 ti = "16/34772/36414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34772/36414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34772 ÷ 216
    34772 ÷ 65536     		x = 0.53057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36414 ÷ 216
    36414 ÷ 65536     		y = 0.555633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53057861328125 × 2 - 1) × π
    0.0611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19213109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.11126708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.349555872029449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19213109} λ = 0.19213109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.349555872029449))-π/2
    2×atan(0.705001130919902)-π/2
    2×0.614074547969003-π/2
    1.22814909593801-1.57079632675     		φ = -0.34264723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19213109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34264723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.632240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34772 KachelY 36414 0.19213109 -0.34264723 11.008301 -19.632240
    Oben rechts KachelX + 1 34773 KachelY 36414 0.19222697 -0.34264723 11.013794 -19.632240
    Unten links KachelX 34772 KachelY + 1 36415 0.19213109 -0.34273753 11.008301 -19.637414
    Unten rechts KachelX + 1 34773 KachelY + 1 36415 0.19222697 -0.34273753 11.013794 -19.637414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34264723--0.34273753) × R
    9.02999999999876e-05 × 6371000     		dl = 575.301299999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34264723--0.34273753) × R
    9.02999999999876e-05 × 6371000     		dr = 575.301299999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19213109-0.19222697) × cos(-0.34264723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941868546195806 × 6371000     		do = 575.341795409112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19213109-0.19222697) × cos(-0.34273753) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941838203216501 × 6371000     		du = 575.323260355296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34264723)-sin(-0.34273753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941868546195806-0.941838203216501)×R²
    abs(0.19222697-0.19213109)×3.03429793054866e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.03429793054866e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.03429793054866e-05×40589641000000     		ar = 330989.551447599m²