Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34771 / 36339
↖ ↑ ↗
← S 19.243736°
E 11.002808°		 ← 576.66 m → S 19.243736°
E 11.008301°		 →
↑
576.64 m
↓
↑
576.64 m
↓
S 19.248922°
E 11.002808°		 ← 576.64 m →
332 520 m²		 S 19.248922°
E 11.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530570983886719 y=0.554496765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530570983886719 × 216)
    floor (0.530570983886719 × 65536)
    floor (34771.5)     		tx = 34771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554496765136719 × 216)
    floor (0.554496765136719 × 65536)
    floor (36339.5)     		ty = 36339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34771 / 36339 ti = "16/34771/36339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34771/36339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34771 ÷ 216
    34771 ÷ 65536     		x = 0.530563354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36339 ÷ 216
    36339 ÷ 65536     		y = 0.554489135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530563354492188 × 2 - 1) × π
    0.061126708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19203522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554489135742188 × 2 - 1) × π
    -0.108978271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.342365337086441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19203522} λ = 0.19203522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342365337086441))-π/2
    2×atan(0.710088735565447)-π/2
    2×0.617464885068926-π/2
    1.23492977013785-1.57079632675     		φ = -0.33586656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19203522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.002808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33586656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.243736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34771 KachelY 36339 0.19203522 -0.33586656 11.002808 -19.243736
    Oben rechts KachelX + 1 34772 KachelY 36339 0.19213109 -0.33586656 11.008301 -19.243736
    Unten links KachelX 34771 KachelY + 1 36340 0.19203522 -0.33595707 11.002808 -19.248922
    Unten rechts KachelX + 1 34772 KachelY + 1 36340 0.19213109 -0.33595707 11.008301 -19.248922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33586656--0.33595707) × R
    9.05100000000436e-05 × 6371000     		dl = 576.639210000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33586656--0.33595707) × R
    9.05100000000436e-05 × 6371000     		dr = 576.639210000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19203522-0.19213109) × cos(-0.33586656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944125056865237 × 6371000     		do = 576.660038083829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19203522-0.19213109) × cos(-0.33595707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944095222039414 × 6371000     		du = 576.641815337096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33586656)-sin(-0.33595707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944125056865237-0.944095222039414)×R²
    abs(0.19213109-0.19203522)×2.98348258230829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98348258230829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98348258230829e-05×40589641000000     		ar = 332519.535051189m²