Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3477 / 809
↖ ↑ ↗
← N 80.809875°
W 27.202148°		 ← 780.43 m → N 80.809875°
W 27.158203°		 →
↑
780.77 m
↓
↑
780.77 m
↓
N 80.802854°
W 27.202148°		 ← 781.02 m →
609 562 m²		 N 80.802854°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42449951171875 y=0.09881591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42449951171875 × 213)
    floor (0.42449951171875 × 8192)
    floor (3477.5)     		tx = 3477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09881591796875 × 213)
    floor (0.09881591796875 × 8192)
    floor (809.5)     		ty = 809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3477 / 809 ti = "13/3477/809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3477/809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3477 ÷ 213
    3477 ÷ 8192     		x = 0.4244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 809 ÷ 213
    809 ÷ 8192     		y = 0.0987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47476705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987548828125 × 2 - 1) × π
    0.802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52109742481799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47476705} λ = -0.47476705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52109742481799))-π/2
    2×atan(12.4422436008832)-π/2
    2×1.49059735674831-π/2
    2.98119471349662-1.57079632675     		φ = 1.41039839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47476705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41039839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.809875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3477 KachelY 809 -0.47476705 1.41039839 -27.202148 80.809875
    Oben rechts KachelX + 1 3478 KachelY 809 -0.47400006 1.41039839 -27.158203 80.809875
    Unten links KachelX 3477 KachelY + 1 810 -0.47476705 1.41027584 -27.202148 80.802854
    Unten rechts KachelX + 1 3478 KachelY + 1 810 -0.47400006 1.41027584 -27.158203 80.802854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41039839-1.41027584) × R
    0.000122549999999944 × 6371000     		dl = 780.76604999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41039839-1.41027584) × R
    0.000122549999999944 × 6371000     		dr = 780.76604999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47476705--0.47400006) × cos(1.41039839) × R
    0.000766990000000023 × 0.159711048050546 × 6371000     		do = 780.426964637883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47476705--0.47400006) × cos(1.41027584) × R
    0.000766990000000023 × 0.159832023775436 × 6371000     		du = 781.01811170581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41039839)-sin(1.41027584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159711048050546-0.159832023775436)×R²
    abs(-0.47400006--0.47476705)×0.000120975724889893×R²
    0.000766990000000023×0.000120975724889893×6371000²
    0.000766990000000023×0.000120975724889893×40589641000000     		ar = 609561.653036567m²