Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34768 / 2000
↖ ↑ ↗
← N 84.553888°
W 84.506836°		 ← 28.99 m → N 84.553888°
W 84.504089°		 →
↑
28.99 m
↓
↑
28.99 m
↓
N 84.553627°
W 84.506836°		 ← 28.99 m →
840 m²		 N 84.553627°
W 84.504089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265262603759766 y=0.0152626037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265262603759766 × 217)
    floor (0.265262603759766 × 131072)
    floor (34768.5)     		tx = 34768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0152626037597656 × 217)
    floor (0.0152626037597656 × 131072)
    floor (2000.5)     		ty = 2000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34768 / 2000 ti = "17/34768/2000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34768/2000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34768 ÷ 217
    34768 ÷ 131072     		x = 0.2652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2000 ÷ 217
    2000 ÷ 131072     		y = 0.0152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47492253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0152587890625 × 2 - 1) × π
    0.969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 3.04571885425989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47492253} λ = -1.47492253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04571885425989))-π/2
    2×atan(21.0251397830931)-π/2
    2×1.52327003300055-π/2
    3.0465400660011-1.57079632675     		φ = 1.47574374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47492253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.506836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47574374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.553888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34768 KachelY 2000 -1.47492253 1.47574374 -84.506836 84.553888
    Oben rechts KachelX + 1 34769 KachelY 2000 -1.47487459 1.47574374 -84.504089 84.553888
    Unten links KachelX 34768 KachelY + 1 2001 -1.47492253 1.47573919 -84.506836 84.553627
    Unten rechts KachelX + 1 34769 KachelY + 1 2001 -1.47487459 1.47573919 -84.504089 84.553627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47574374-1.47573919) × R
    4.54999999988104e-06 × 6371000     		dl = 28.9880499992421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47574374-1.47573919) × R
    4.54999999988104e-06 × 6371000     		dr = 28.9880499992421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47492253--1.47487459) × cos(1.47574374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0949095181787743 × 6371000     		do = 28.9878098227766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47492253--1.47487459) × cos(1.47573919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0949140476386511 × 6371000     		du = 28.9891932364112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47574374)-sin(1.47573919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0949095181787743-0.0949140476386511)×R²
    abs(-1.47487459--1.47492253)×4.52945987673703e-06×R²
    4.79399999999686e-05×4.52945987673703e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×4.52945987673703e-06×40589641000000     		ar = 840.320131704281m²