Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34764 / 23228
↖ ↑ ↗
← N 75.007783°
W 84.517823°		 ← 79.01 m → N 75.007783°
W 84.515076°		 →
↑
79.06 m
↓
↑
79.06 m
↓
N 75.007072°
W 84.517823°		 ← 79.01 m →
6 247 m²		 N 75.007072°
W 84.515076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265232086181641 y=0.177219390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265232086181641 × 217)
    floor (0.265232086181641 × 131072)
    floor (34764.5)     		tx = 34764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177219390869141 × 217)
    floor (0.177219390869141 × 131072)
    floor (23228.5)     		ty = 23228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34764 / 23228 ti = "17/34764/23228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34764/23228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34764 ÷ 217
    34764 ÷ 131072     		x = 0.265228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23228 ÷ 217
    23228 ÷ 131072     		y = 0.177215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.46954345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47511428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.177215576171875 × 2 - 1) × π
    0.64556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.02811434912534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47511428} λ = -1.47511428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02811434912534))-π/2
    2×atan(7.59974237829766)-π/2
    2×1.43996454627076-π/2
    2.87992909254152-1.57079632675     		φ = 1.30913277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47511428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.517823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30913277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.007783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34764 KachelY 23228 -1.47511428 1.30913277 -84.517823 75.007783
    Oben rechts KachelX + 1 34765 KachelY 23228 -1.47506634 1.30913277 -84.515076 75.007783
    Unten links KachelX 34764 KachelY + 1 23229 -1.47511428 1.30912036 -84.517823 75.007072
    Unten rechts KachelX + 1 34765 KachelY + 1 23229 -1.47506634 1.30912036 -84.515076 75.007072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30913277-1.30912036) × R
    1.24099999998517e-05 × 6371000     		dl = 79.0641099990552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30913277-1.30912036) × R
    1.24099999998517e-05 × 6371000     		dr = 79.0641099990552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47511428--1.47506634) × cos(1.30913277) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.258687840040292 × 6371000     		do = 79.0099249736219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47511428--1.47506634) × cos(1.30912036) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.258699827596047 × 6371000     		du = 79.0135862817092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30913277)-sin(1.30912036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258687840040292-0.258699827596047)×R²
    abs(-1.47506634--1.47511428)×1.19875557548221e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.19875557548221e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.19875557548221e-05×40589641000000     		ar = 6246.99413823493m²