Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34760 / 23224
↖ ↑ ↗
← N 75.010624°
W 84.528808°		 ← 78.98 m → N 75.010624°
W 84.526062°		 →
↑
78.94 m
↓
↑
78.94 m
↓
N 75.009914°
W 84.528808°		 ← 78.98 m →
6 234 m²		 N 75.009914°
W 84.526062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265201568603516 y=0.177188873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265201568603516 × 217)
    floor (0.265201568603516 × 131072)
    floor (34760.5)     		tx = 34760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177188873291016 × 217)
    floor (0.177188873291016 × 131072)
    floor (23224.5)     		ty = 23224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34760 / 23224 ti = "17/34760/23224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34760/23224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34760 ÷ 217
    34760 ÷ 131072     		x = 0.26519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23224 ÷ 217
    23224 ÷ 131072     		y = 0.17718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.4696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47530602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17718505859375 × 2 - 1) × π
    0.6456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.02830609672382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47530602} λ = -1.47530602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02830609672382))-π/2
    2×atan(7.6011997503671)-π/2
    2×1.43998934536046-π/2
    2.87997869072092-1.57079632675     		φ = 1.30918236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47530602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.528808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30918236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.010624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34760 KachelY 23224 -1.47530602 1.30918236 -84.528808 75.010624
    Oben rechts KachelX + 1 34761 KachelY 23224 -1.47525809 1.30918236 -84.526062 75.010624
    Unten links KachelX 34760 KachelY + 1 23225 -1.47530602 1.30916997 -84.528808 75.009914
    Unten rechts KachelX + 1 34761 KachelY + 1 23225 -1.47525809 1.30916997 -84.526062 75.009914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30918236-1.30916997) × R
    1.23900000001953e-05 × 6371000     		dl = 78.9366900012443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30918236-1.30916997) × R
    1.23900000001953e-05 × 6371000     		dr = 78.9366900012443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47530602--1.47525809) × cos(1.30918236) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.258639937717581 × 6371000     		do = 78.9788164205623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47530602--1.47525809) × cos(1.30916997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.258651906113112 × 6371000     		du = 78.9824711141178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30918236)-sin(1.30916997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258639937717581-0.258651906113112)×R²
    abs(-1.47525809--1.47530602)×1.19683955318584e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.19683955318584e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.19683955318584e-05×40589641000000     		ar = 6234.47059329873m²