Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3476 / 967
↖ ↑ ↗
← N 79.631968°
W 27.246094°		 ← 879.42 m → N 79.631968°
W 27.202148°		 →
↑
879.71 m
↓
↑
879.71 m
↓
N 79.624057°
W 27.246094°		 ← 880.09 m →
773 928 m²		 N 79.624057°
W 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42437744140625 y=0.11810302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42437744140625 × 213)
    floor (0.42437744140625 × 8192)
    floor (3476.5)     		tx = 3476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11810302734375 × 213)
    floor (0.11810302734375 × 8192)
    floor (967.5)     		ty = 967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3476 / 967 ti = "13/3476/967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3476/967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3476 ÷ 213
    3476 ÷ 8192     		x = 0.42431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 967 ÷ 213
    967 ÷ 8192     		y = 0.1180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1180419921875 × 2 - 1) × π
    0.763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39991294257849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47553404} λ = -0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39991294257849))-π/2
    2×atan(11.0222167731002)-π/2
    2×1.48031818023562-π/2
    2.96063636047124-1.57079632675     		φ = 1.38984003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38984003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.631968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3476 KachelY 967 -0.47553404 1.38984003 -27.246094 79.631968
    Oben rechts KachelX + 1 3477 KachelY 967 -0.47476705 1.38984003 -27.202148 79.631968
    Unten links KachelX 3476 KachelY + 1 968 -0.47553404 1.38970195 -27.246094 79.624057
    Unten rechts KachelX + 1 3477 KachelY + 1 968 -0.47476705 1.38970195 -27.202148 79.624057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38984003-1.38970195) × R
    0.000138079999999929 × 6371000     		dl = 879.70767999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38984003-1.38970195) × R
    0.000138079999999929 × 6371000     		dr = 879.70767999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47553404--0.47476705) × cos(1.38984003) × R
    0.000766989999999967 × 0.179970337990931 × 6371000     		do = 879.423848991677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47553404--0.47476705) × cos(1.38970195) × R
    0.000766989999999967 × 0.180106161709778 × 6371000     		du = 880.087550682447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38984003)-sin(1.38970195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179970337990931-0.180106161709778)×R²
    abs(-0.47476705--0.47553404)×0.000135823718847211×R²
    0.000766989999999967×0.000135823718847211×6371000²
    0.000766989999999967×0.000135823718847211×40589641000000     		ar = 773927.846900153m²