Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3476 / 919
↖ ↑ ↗
← N 80.004798°
W 27.246094°		 ← 848.13 m → N 80.004798°
W 27.202148°		 →
↑
848.43 m
↓
↑
848.43 m
↓
N 79.997168°
W 27.246094°		 ← 848.77 m →
719 845 m²		 N 79.997168°
W 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42437744140625 y=0.11224365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42437744140625 × 213)
    floor (0.42437744140625 × 8192)
    floor (3476.5)     		tx = 3476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11224365234375 × 213)
    floor (0.11224365234375 × 8192)
    floor (919.5)     		ty = 919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3476 / 919 ti = "13/3476/919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3476/919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3476 ÷ 213
    3476 ÷ 8192     		x = 0.42431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 919 ÷ 213
    919 ÷ 8192     		y = 0.1121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1121826171875 × 2 - 1) × π
    0.775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43672848148669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47553404} λ = -0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43672848148669))-π/2
    2×atan(11.4355678077235)-π/2
    2×1.48357174059826-π/2
    2.96714348119652-1.57079632675     		φ = 1.39634715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39634715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.004798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3476 KachelY 919 -0.47553404 1.39634715 -27.246094 80.004798
    Oben rechts KachelX + 1 3477 KachelY 919 -0.47476705 1.39634715 -27.202148 80.004798
    Unten links KachelX 3476 KachelY + 1 920 -0.47553404 1.39621398 -27.246094 79.997168
    Unten rechts KachelX + 1 3477 KachelY + 1 920 -0.47476705 1.39621398 -27.202148 79.997168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39634715-1.39621398) × R
    0.000133170000000016 × 6371000     		dl = 848.4260700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39634715-1.39621398) × R
    0.000133170000000016 × 6371000     		dr = 848.4260700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47553404--0.47476705) × cos(1.39634715) × R
    0.000766989999999967 × 0.173565700979971 × 6371000     		do = 848.127633212737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47553404--0.47476705) × cos(1.39621398) × R
    0.000766989999999967 × 0.173696848225222 × 6371000     		du = 848.76848334666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39634715)-sin(1.39621398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173565700979971-0.173696848225222)×R²
    abs(-0.47476705--0.47553404)×0.000131147245251484×R²
    0.000766989999999967×0.000131147245251484×6371000²
    0.000766989999999967×0.000131147245251484×40589641000000     		ar = 719845.452748352m²