Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34756 / 36198
↖ ↑ ↗
← S 18.510865°
E 10.920410°		 ← 579.25 m → S 18.510865°
E 10.925904°		 →
↑
579.25 m
↓
↑
579.25 m
↓
S 18.516075°
E 10.920410°		 ← 579.23 m →
335 525 m²		 S 18.516075°
E 10.925904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530342102050781 y=0.552345275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530342102050781 × 216)
    floor (0.530342102050781 × 65536)
    floor (34756.5)     		tx = 34756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552345275878906 × 216)
    floor (0.552345275878906 × 65536)
    floor (36198.5)     		ty = 36198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34756 / 36198 ti = "16/34756/36198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34756/36198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34756 ÷ 216
    34756 ÷ 65536     		x = 0.53033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36198 ÷ 216
    36198 ÷ 65536     		y = 0.552337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53033447265625 × 2 - 1) × π
    0.0606689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19059711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.10467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.328847131393585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19059711} λ = 0.19059711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328847131393585))-π/2
    2×atan(0.719753035981191)-π/2
    2×0.623860386392825-π/2
    1.24772077278565-1.57079632675     		φ = -0.32307555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19059711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32307555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.510865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34756 KachelY 36198 0.19059711 -0.32307555 10.920410 -18.510865
    Oben rechts KachelX + 1 34757 KachelY 36198 0.19069299 -0.32307555 10.925904 -18.510865
    Unten links KachelX 34756 KachelY + 1 36199 0.19059711 -0.32316647 10.920410 -18.516075
    Unten rechts KachelX + 1 34757 KachelY + 1 36199 0.19069299 -0.32316647 10.925904 -18.516075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32307555--0.32316647) × R
    9.09199999999943e-05 × 6371000     		dl = 579.251319999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32307555--0.32316647) × R
    9.09199999999943e-05 × 6371000     		dr = 579.251319999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19059711-0.19069299) × cos(-0.32307555) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.948263465013073 × 6371000     		do = 579.248141033287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19059711-0.19069299) × cos(-0.32316647) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.948234595403965 × 6371000     		du = 579.230505989836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32307555)-sin(-0.32316647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948263465013073-0.948234595403965)×R²
    abs(0.19069299-0.19059711)×2.88696091084173e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.88696091084173e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.88696091084173e-05×40589641000000     		ar = 335525.142970998m²