Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34754 / 23226
↖ ↑ ↗
← N 75.009203°
W 84.545288°		 ← 78.99 m → N 75.009203°
W 84.542542°		 →
↑
79 m
↓
↑
79 m
↓
N 75.008493°
W 84.545288°		 ← 78.99 m →
6 240 m²		 N 75.008493°
W 84.542542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265155792236328 y=0.177204132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265155792236328 × 217)
    floor (0.265155792236328 × 131072)
    floor (34754.5)     		tx = 34754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177204132080078 × 217)
    floor (0.177204132080078 × 131072)
    floor (23226.5)     		ty = 23226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34754 / 23226 ti = "17/34754/23226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34754/23226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34754 ÷ 217
    34754 ÷ 131072     		x = 0.265151977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23226 ÷ 217
    23226 ÷ 131072     		y = 0.177200317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265151977539062 × 2 - 1) × π
    -0.469696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47559364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.177200317382812 × 2 - 1) × π
    0.645599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.02821022292458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47559364} λ = -1.47559364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02821022292458))-π/2
    2×atan(7.60047102940143)-π/2
    2×1.43997694638978-π/2
    2.87995389277955-1.57079632675     		φ = 1.30915757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47559364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.545288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30915757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.009203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34754 KachelY 23226 -1.47559364 1.30915757 -84.545288 75.009203
    Oben rechts KachelX + 1 34755 KachelY 23226 -1.47554571 1.30915757 -84.542542 75.009203
    Unten links KachelX 34754 KachelY + 1 23227 -1.47559364 1.30914517 -84.545288 75.008493
    Unten rechts KachelX + 1 34755 KachelY + 1 23227 -1.47554571 1.30914517 -84.542542 75.008493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30915757-1.30914517) × R
    1.23999999999125e-05 × 6371000     		dl = 79.0003999994424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30915757-1.30914517) × R
    1.23999999999125e-05 × 6371000     		dr = 79.0003999994424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47559364--1.47554571) × cos(1.30915757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.258663884128612 × 6371000     		do = 78.986128745246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47559364--1.47554571) × cos(1.30914517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.258675862104339 × 6371000     		du = 78.9897863642293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30915757)-sin(1.30914517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258663884128612-0.258675862104339)×R²
    abs(-1.47554571--1.47559364)×1.19779757270511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.19779757270511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.19779757270511e-05×40589641000000     		ar = 6240.08024208345m²