Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3475 / 2743
↖ ↑ ↗
← N 75.893447°
W103.645019°		 ← 595.47 m → N 75.893447°
W103.623047°		 →
↑
595.56 m
↓
↑
595.56 m
↓
N 75.888091°
W103.645019°		 ← 595.70 m →
354 708 m²		 N 75.888091°
W103.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212127685546875 y=0.167449951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212127685546875 × 214)
    floor (0.212127685546875 × 16384)
    floor (3475.5)     		tx = 3475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167449951171875 × 214)
    floor (0.167449951171875 × 16384)
    floor (2743.5)     		ty = 2743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3475 / 2743 ti = "14/3475/2743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3475/2743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3475 ÷ 214
    3475 ÷ 16384     		x = 0.21209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2743 ÷ 214
    2743 ÷ 16384     		y = 0.16741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80894684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16741943359375 × 2 - 1) × π
    0.6651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08966532823749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80894684} λ = -1.80894684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08966532823749))-π/2
    2×atan(8.08220982422298)-π/2
    2×1.44769342923088-π/2
    2.89538685846177-1.57079632675     		φ = 1.32459053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80894684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.645019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32459053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.893447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3475 KachelY 2743 -1.80894684 1.32459053 -103.645019 75.893447
    Oben rechts KachelX + 1 3476 KachelY 2743 -1.80856335 1.32459053 -103.623047 75.893447
    Unten links KachelX 3475 KachelY + 1 2744 -1.80894684 1.32449705 -103.645019 75.888091
    Unten rechts KachelX + 1 3476 KachelY + 1 2744 -1.80856335 1.32449705 -103.623047 75.888091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32459053-1.32449705) × R
    9.34800000000902e-05 × 6371000     		dl = 595.561080000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32459053-1.32449705) × R
    9.34800000000902e-05 × 6371000     		dr = 595.561080000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80894684--1.80856335) × cos(1.32459053) × R
    0.000383489999999931 × 0.243725936650299 × 6371000     		do = 595.474813130505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80894684--1.80856335) × cos(1.32449705) × R
    0.000383489999999931 × 0.243816596616047 × 6371000     		du = 595.696314899683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32459053)-sin(1.32449705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243725936650299-0.243816596616047)×R²
    abs(-1.80856335--1.80894684)×9.06599657485019e-05×R²
    0.000383489999999931×9.06599657485019e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.06599657485019e-05×40589641000000     		ar = 354707.581995269m²