Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34741 / 36203
↖ ↑ ↗
← S 18.536909°
E 10.838013°		 ← 579.10 m → S 18.536909°
E 10.843506°		 →
↑
579.12 m
↓
↑
579.12 m
↓
S 18.542117°
E 10.838013°		 ← 579.08 m →
335 365 m²		 S 18.542117°
E 10.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530113220214844 y=0.552421569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530113220214844 × 216)
    floor (0.530113220214844 × 65536)
    floor (34741.5)     		tx = 34741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552421569824219 × 216)
    floor (0.552421569824219 × 65536)
    floor (36203.5)     		ty = 36203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34741 / 36203 ti = "16/34741/36203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34741/36203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34741 ÷ 216
    34741 ÷ 65536     		x = 0.530105590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36203 ÷ 216
    36203 ÷ 65536     		y = 0.552413940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530105590820312 × 2 - 1) × π
    0.060211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18915901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552413940429688 × 2 - 1) × π
    -0.104827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.329326500389786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18915901} λ = 0.18915901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329326500389786))-π/2
    2×atan(0.719408091375301)-π/2
    2×0.623633119642833-π/2
    1.24726623928567-1.57079632675     		φ = -0.32353009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18915901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.838013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32353009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.536909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34741 KachelY 36203 0.18915901 -0.32353009 10.838013 -18.536909
    Oben rechts KachelX + 1 34742 KachelY 36203 0.18925488 -0.32353009 10.843506 -18.536909
    Unten links KachelX 34741 KachelY + 1 36204 0.18915901 -0.32362099 10.838013 -18.542117
    Unten rechts KachelX + 1 34742 KachelY + 1 36204 0.18925488 -0.32362099 10.843506 -18.542117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32353009--0.32362099) × R
    9.09000000000049e-05 × 6371000     		dl = 579.123900000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32353009--0.32362099) × R
    9.09000000000049e-05 × 6371000     		dr = 579.123900000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18915901-0.18925488) × cos(-0.32353009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948119057659545 × 6371000     		do = 579.099524922362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18915901-0.18925488) × cos(-0.32362099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948090155225377 × 6371000     		du = 579.081871669049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32353009)-sin(-0.32362099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948119057659545-0.948090155225377)×R²
    abs(0.18925488-0.18915901)×2.89024341673105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89024341673105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89024341673105e-05×40589641000000     		ar = 335365.263881666m²