Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3474 / 2714
↖ ↑ ↗
← N 76.047916°
W103.666992°		 ← 589.10 m → N 76.047916°
W103.645019°		 →
↑
589.25 m
↓
↑
589.25 m
↓
N 76.042617°
W103.666992°		 ← 589.32 m →
347 194 m²		 N 76.042617°
W103.645019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212066650390625 y=0.165679931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212066650390625 × 214)
    floor (0.212066650390625 × 16384)
    floor (3474.5)     		tx = 3474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165679931640625 × 214)
    floor (0.165679931640625 × 16384)
    floor (2714.5)     		ty = 2714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3474 / 2714 ti = "14/3474/2714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3474/2714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3474 ÷ 214
    3474 ÷ 16384     		x = 0.2120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2714 ÷ 214
    2714 ÷ 16384     		y = 0.1656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80933034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1656494140625 × 2 - 1) × π
    0.668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10078668894934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80933034} λ = -1.80933034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10078668894934))-π/2
    2×atan(8.17259667579667)-π/2
    2×1.44904142679349-π/2
    2.89808285358698-1.57079632675     		φ = 1.32728653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80933034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32728653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.047916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3474 KachelY 2714 -1.80933034 1.32728653 -103.666992 76.047916
    Oben rechts KachelX + 1 3475 KachelY 2714 -1.80894684 1.32728653 -103.645019 76.047916
    Unten links KachelX 3474 KachelY + 1 2715 -1.80933034 1.32719404 -103.666992 76.042617
    Unten rechts KachelX + 1 3475 KachelY + 1 2715 -1.80894684 1.32719404 -103.645019 76.042617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32728653-1.32719404) × R
    9.24900000001116e-05 × 6371000     		dl = 589.253790000711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32728653-1.32719404) × R
    9.24900000001116e-05 × 6371000     		dr = 589.253790000711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80933034--1.80894684) × cos(1.32728653) × R
    0.000383500000000092 × 0.241110354249543 × 6371000     		do = 589.099744665434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80933034--1.80894684) × cos(1.32719404) × R
    0.000383500000000092 × 0.241200114550953 × 6371000     		du = 589.319054080022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32728653)-sin(1.32719404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241110354249543-0.241200114550953)×R²
    abs(-1.80894684--1.80933034)×8.97603014096138e-05×R²
    0.000383500000000092×8.97603014096138e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.97603014096138e-05×40589641000000     		ar = 347193.871932079m²