Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3474 / 2703
↖ ↑ ↗
← N 52.079506°
W 27.333985°		 ← 3 003.12 m → N 52.079506°
W 27.290039°		 →
↑
3 003.99 m
↓
↑
3 003.99 m
↓
N 52.052490°
W 27.333985°		 ← 3 004.94 m →
9 024 069 m²		 N 52.052490°
W 27.290039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42413330078125 y=0.33001708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42413330078125 × 213)
    floor (0.42413330078125 × 8192)
    floor (3474.5)     		tx = 3474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33001708984375 × 213)
    floor (0.33001708984375 × 8192)
    floor (2703.5)     		ty = 2703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3474 / 2703 ti = "13/3474/2703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3474/2703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3474 ÷ 213
    3474 ÷ 8192     		x = 0.424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2703 ÷ 213
    2703 ÷ 8192     		y = 0.3299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424072265625 × 2 - 1) × π
    -0.15185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47706803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3299560546875 × 2 - 1) × π
    0.340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06841761873181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47706803} λ = -0.47706803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06841761873181))-π/2
    2×atan(2.91076990609592)-π/2
    2×1.23987758967727-π/2
    2.47975517935454-1.57079632675     		φ = 0.90895885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47706803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.333985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90895885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.079506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3474 KachelY 2703 -0.47706803 0.90895885 -27.333985 52.079506
    Oben rechts KachelX + 1 3475 KachelY 2703 -0.47630103 0.90895885 -27.290039 52.079506
    Unten links KachelX 3474 KachelY + 1 2704 -0.47706803 0.90848734 -27.333985 52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 3475 KachelY + 1 2704 -0.47630103 0.90848734 -27.290039 52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90895885-0.90848734) × R
    0.000471510000000008 × 6371000     		dl = 3003.99021000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90895885-0.90848734) × R
    0.000471510000000008 × 6371000     		dr = 3003.99021000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47706803--0.47630103) × cos(0.90895885) × R
    0.000766999999999962 × 0.614567408510767 × 6371000     		do = 3003.11867203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47706803--0.47630103) × cos(0.90848734) × R
    0.000766999999999962 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 3004.93592922413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90895885)-sin(0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614567408510767-0.614939297592205)×R²
    abs(-0.47630103--0.47706803)×0.000371889081438148×R²
    0.000766999999999962×0.000371889081438148×6371000²
    0.000766999999999962×0.000371889081438148×40589641000000     		ar = 9024068.76884331m²