Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34737 / 36207
↖ ↑ ↗
← S 18.557740°
E 10.816040°		 ← 579.03 m → S 18.557740°
E 10.821533°		 →
↑
579.06 m
↓
↑
579.06 m
↓
S 18.562947°
E 10.816040°		 ← 579.01 m →
335 287 m²		 S 18.562947°
E 10.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530052185058594 y=0.552482604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530052185058594 × 216)
    floor (0.530052185058594 × 65536)
    floor (34737.5)     		tx = 34737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552482604980469 × 216)
    floor (0.552482604980469 × 65536)
    floor (36207.5)     		ty = 36207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34737 / 36207 ti = "16/34737/36207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34737/36207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34737 ÷ 216
    34737 ÷ 65536     		x = 0.530044555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36207 ÷ 216
    36207 ÷ 65536     		y = 0.552474975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530044555664062 × 2 - 1) × π
    0.060089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18877551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.104949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.329709995586746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18877551} λ = 0.18877551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329709995586746))-π/2
    2×atan(0.719132254722)-π/2
    2×0.623451331176271-π/2
    1.24690266235254-1.57079632675     		φ = -0.32389366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18877551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32389366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.557740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34737 KachelY 36207 0.18877551 -0.32389366 10.816040 -18.557740
    Oben rechts KachelX + 1 34738 KachelY 36207 0.18887138 -0.32389366 10.821533 -18.557740
    Unten links KachelX 34737 KachelY + 1 36208 0.18877551 -0.32398455 10.816040 -18.562947
    Unten rechts KachelX + 1 34738 KachelY + 1 36208 0.18887138 -0.32398455 10.821533 -18.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32389366--0.32398455) × R
    9.08899999999546e-05 × 6371000     		dl = 579.060189999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32389366--0.32398455) × R
    9.08899999999546e-05 × 6371000     		dr = 579.060189999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18877551-0.18887138) × cos(-0.32389366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948003410468303 × 6371000     		do = 579.028889032317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18877551-0.18887138) × cos(-0.32398455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947974479886063 × 6371000     		du = 579.011218586505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32389366)-sin(-0.32398455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948003410468303-0.947974479886063)×R²
    abs(0.18887138-0.18877551)×2.89305822405161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89305822405161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89305822405161e-05×40589641000000     		ar = 335287.462603396m²