Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34736 / 2032
↖ ↑ ↗
← N 84.545540°
W 84.594727°		 ← 29.03 m → N 84.545540°
W 84.591980°		 →
↑
29.05 m
↓
↑
29.05 m
↓
N 84.545279°
W 84.594727°		 ← 29.03 m →
843 m²		 N 84.545279°
W 84.591980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265018463134766 y=0.0155067443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265018463134766 × 217)
    floor (0.265018463134766 × 131072)
    floor (34736.5)     		tx = 34736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0155067443847656 × 217)
    floor (0.0155067443847656 × 131072)
    floor (2032.5)     		ty = 2032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34736 / 2032 ti = "17/34736/2032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34736/2032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34736 ÷ 217
    34736 ÷ 131072     		x = 0.2650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2032 ÷ 217
    2032 ÷ 131072     		y = 0.0155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47645651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0155029296875 × 2 - 1) × π
    0.968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 3.04418487347205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47645651} λ = -1.47645651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04418487347205))-π/2
    2×atan(20.9929123470575)-π/2
    2×1.52319718270237-π/2
    3.04639436540475-1.57079632675     		φ = 1.47559804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47645651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.594727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47559804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.545540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34736 KachelY 2032 -1.47645651 1.47559804 -84.594727 84.545540
    Oben rechts KachelX + 1 34737 KachelY 2032 -1.47640857 1.47559804 -84.591980 84.545540
    Unten links KachelX 34736 KachelY + 1 2033 -1.47645651 1.47559348 -84.594727 84.545279
    Unten rechts KachelX + 1 34737 KachelY + 1 2033 -1.47640857 1.47559348 -84.591980 84.545279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47559804-1.47559348) × R
    4.56000000004231e-06 × 6371000     		dl = 29.0517600002695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47559804-1.47559348) × R
    4.56000000004231e-06 × 6371000     		dr = 29.0517600002695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47645651--1.47640857) × cos(1.47559804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0950545594669564 × 6371000     		do = 29.0321091655501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47645651--1.47640857) × cos(1.47559348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.0950590988185812 × 6371000     		du = 29.0334956003793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47559804)-sin(1.47559348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0950545594669564-0.0950590988185812)×R²
    abs(-1.47640857--1.47645651)×4.53935162479657e-06×R²
    4.79399999999686e-05×4.53935162479657e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×4.53935162479657e-06×40589641000000     		ar = 843.454007001753m²