Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34732 / 102962
↖ ↑ ↗
← S 71.118548°
W 84.605713°		 ← 98.84 m → S 71.118548°
W 84.602966°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
S 71.119437°
W 84.605713°		 ← 98.83 m →
9 773 m²		 S 71.119437°
W 84.602966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264987945556641 y=0.785541534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264987945556641 × 217)
    floor (0.264987945556641 × 131072)
    floor (34732.5)     		tx = 34732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785541534423828 × 217)
    floor (0.785541534423828 × 131072)
    floor (102962.5)     		ty = 102962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34732 / 102962 ti = "17/34732/102962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34732/102962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34732 ÷ 217
    34732 ÷ 131072     		x = 0.264984130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102962 ÷ 217
    102962 ÷ 131072     		y = 0.785537719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.47003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47664826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785537719726562 × 2 - 1) × π
    -0.571075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79408640518022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47664826} λ = -1.47664826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79408640518022))-π/2
    2×atan(0.166279294877433)-π/2
    2×0.164771751473685-π/2
    0.329543502947371-1.57079632675     		φ = -1.24125282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47664826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.605713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24125282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.118548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34732 KachelY 102962 -1.47664826 -1.24125282 -84.605713 -71.118548
    Oben rechts KachelX + 1 34733 KachelY 102962 -1.47660032 -1.24125282 -84.602966 -71.118548
    Unten links KachelX 34732 KachelY + 1 102963 -1.47664826 -1.24126834 -84.605713 -71.119437
    Unten rechts KachelX + 1 34733 KachelY + 1 102963 -1.47660032 -1.24126834 -84.602966 -71.119437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24125282--1.24126834) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dl = 98.8779200002969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24125282--1.24126834) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dr = 98.8779200002969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47664826--1.47660032) × cos(-1.24125282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323611132745284 × 6371000     		do = 98.8391696909019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47664826--1.47660032) × cos(-1.24126834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323596447834897 × 6371000     		du = 98.8346845412801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24125282)-sin(-1.24126834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323611132745284-0.323596447834897)×R²
    abs(-1.47660032--1.47664826)×1.46849103870861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46849103870861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46849103870861e-05×40589641000000     		ar = 9772.78977249013m²