Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34721 / 48799
↖ ↑ ↗
← S 65.728368°
E 10.728149°		 ← 251.07 m → S 65.728368°
E 10.733642°		 →
↑
251.08 m
↓
↑
251.08 m
↓
S 65.730626°
E 10.728149°		 ← 251.05 m →
63 037 m²		 S 65.730626°
E 10.733642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529808044433594 y=0.744621276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529808044433594 × 216)
    floor (0.529808044433594 × 65536)
    floor (34721.5)     		tx = 34721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744621276855469 × 216)
    floor (0.744621276855469 × 65536)
    floor (48799.5)     		ty = 48799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34721 / 48799 ti = "16/34721/48799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34721/48799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34721 ÷ 216
    34721 ÷ 65536     		x = 0.529800415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48799 ÷ 216
    48799 ÷ 65536     		y = 0.744613647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529800415039062 × 2 - 1) × π
    0.059600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18724153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744613647460938 × 2 - 1) × π
    -0.489227294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53695287561824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18724153} λ = 0.18724153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53695287561824))-π/2
    2×atan(0.215035343580515)-π/2
    2×0.21180994178186-π/2
    0.42361988356372-1.57079632675     		φ = -1.14717644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18724153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.728149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14717644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.728368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34721 KachelY 48799 0.18724153 -1.14717644 10.728149 -65.728368
    Oben rechts KachelX + 1 34722 KachelY 48799 0.18733740 -1.14717644 10.733642 -65.728368
    Unten links KachelX 34721 KachelY + 1 48800 0.18724153 -1.14721585 10.728149 -65.730626
    Unten rechts KachelX + 1 34722 KachelY + 1 48800 0.18733740 -1.14721585 10.733642 -65.730626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14717644--1.14721585) × R
    3.9410000000073e-05 × 6371000     		dl = 251.081110000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14717644--1.14721585) × R
    3.9410000000073e-05 × 6371000     		dr = 251.081110000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18724153-0.18733740) × cos(-1.14717644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411063052880656 × 6371000     		do = 251.072285398362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18724153-0.18733740) × cos(-1.14721585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411027126132944 × 6371000     		du = 251.050341780244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14717644)-sin(-1.14721585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411063052880656-0.411027126132944)×R²
    abs(0.18733740-0.18724153)×3.59267477119118e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59267477119118e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59267477119118e-05×40589641000000     		ar = 63036.7533023811m²