Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34704 / 35952
↖ ↑ ↗
← S 17.224758°
E 10.634766°		 ← 583.39 m → S 17.224758°
E 10.640259°		 →
↑
583.46 m
↓
↑
583.46 m
↓
S 17.230005°
E 10.634766°		 ← 583.38 m →
340 380 m²		 S 17.230005°
E 10.640259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529548645019531 y=0.548591613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529548645019531 × 216)
    floor (0.529548645019531 × 65536)
    floor (34704.5)     		tx = 34704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548591613769531 × 216)
    floor (0.548591613769531 × 65536)
    floor (35952.5)     		ty = 35952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34704 / 35952 ti = "16/34704/35952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34704/35952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34704 ÷ 216
    34704 ÷ 65536     		x = 0.529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35952 ÷ 216
    35952 ÷ 65536     		y = 0.548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529541015625 × 2 - 1) × π
    0.05908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18561168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.09716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.305262176780518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18561168} λ = 0.18561168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.305262176780518))-π/2
    2×atan(0.736930143089973)-π/2
    2×0.635083791618858-π/2
    1.27016758323772-1.57079632675     		φ = -0.30062874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18561168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30062874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.224758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34704 KachelY 35952 0.18561168 -0.30062874 10.634766 -17.224758
    Oben rechts KachelX + 1 34705 KachelY 35952 0.18570755 -0.30062874 10.640259 -17.224758
    Unten links KachelX 34704 KachelY + 1 35953 0.18561168 -0.30072032 10.634766 -17.230005
    Unten rechts KachelX + 1 34705 KachelY + 1 35953 0.18570755 -0.30072032 10.640259 -17.230005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30062874--0.30072032) × R
    9.157999999998e-05 × 6371000     		dl = 583.456179999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30062874--0.30072032) × R
    9.157999999998e-05 × 6371000     		dr = 583.456179999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18561168-0.18570755) × cos(-0.30062874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955150494934179 × 6371000     		do = 583.394240815231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18561168-0.18570755) × cos(-0.30072032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955123372185386 × 6371000     		du = 583.377674571979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30062874)-sin(-0.30072032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955150494934179-0.955123372185386)×R²
    abs(0.18570755-0.18561168)×2.71227487931291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71227487931291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71227487931291e-05×40589641000000     		ar = 340380.142579396m²