Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34697 / 35966
↖ ↑ ↗
← S 17.298199°
E 10.596314°		 ← 583.16 m → S 17.298199°
E 10.601806°		 →
↑
583.20 m
↓
↑
583.20 m
↓
S 17.303443°
E 10.596314°		 ← 583.15 m →
340 096 m²		 S 17.303443°
E 10.601806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529441833496094 y=0.548805236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529441833496094 × 216)
    floor (0.529441833496094 × 65536)
    floor (34697.5)     		tx = 34697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548805236816406 × 216)
    floor (0.548805236816406 × 65536)
    floor (35966.5)     		ty = 35966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34697 / 35966 ti = "16/34697/35966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34697/35966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34697 ÷ 216
    34697 ÷ 65536     		x = 0.529434204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35966 ÷ 216
    35966 ÷ 65536     		y = 0.548797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529434204101562 × 2 - 1) × π
    0.058868408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18494056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.09759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.306604409969879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18494056} λ = 0.18494056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306604409969879))-π/2
    2×atan(0.735941674519738)-π/2
    2×0.634442901821028-π/2
    1.26888580364206-1.57079632675     		φ = -0.30191052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18494056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.596314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30191052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.298199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34697 KachelY 35966 0.18494056 -0.30191052 10.596314 -17.298199
    Oben rechts KachelX + 1 34698 KachelY 35966 0.18503643 -0.30191052 10.601806 -17.298199
    Unten links KachelX 34697 KachelY + 1 35967 0.18494056 -0.30200206 10.596314 -17.303443
    Unten rechts KachelX + 1 34698 KachelY + 1 35967 0.18503643 -0.30200206 10.601806 -17.303443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30191052--0.30200206) × R
    9.15400000000011e-05 × 6371000     		dl = 583.201340000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30191052--0.30200206) × R
    9.15400000000011e-05 × 6371000     		dr = 583.201340000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18494056-0.18503643) × cos(-0.30191052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954770148673885 × 6371000     		do = 583.161929971078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18494056-0.18503643) × cos(-0.30200206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954742925725551 × 6371000     		du = 583.145302527172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30191052)-sin(-0.30200206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954770148673885-0.954742925725551)×R²
    abs(0.18503643-0.18494056)×2.72229483335718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72229483335718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72229483335718e-05×40589641000000     		ar = 340095.970659951m²