Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34696 / 35958
↖ ↑ ↗
← S 17.256236°
E 10.590820°		 ← 583.36 m → S 17.256236°
E 10.596314°		 →
↑
583.33 m
↓
↑
583.33 m
↓
S 17.261482°
E 10.590820°		 ← 583.34 m →
340 283 m²		 S 17.261482°
E 10.596314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529426574707031 y=0.548683166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529426574707031 × 216)
    floor (0.529426574707031 × 65536)
    floor (34696.5)     		tx = 34696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548683166503906 × 216)
    floor (0.548683166503906 × 65536)
    floor (35958.5)     		ty = 35958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34696 / 35958 ti = "16/34696/35958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34696/35958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34696 ÷ 216
    34696 ÷ 65536     		x = 0.5294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35958 ÷ 216
    35958 ÷ 65536     		y = 0.548675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5294189453125 × 2 - 1) × π
    0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.305837419575958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18484468} λ = 0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.305837419575958))-π/2
    2×atan(0.736506351237708)-π/2
    2×0.634809093309502-π/2
    1.269618186619-1.57079632675     		φ = -0.30117814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30117814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.256236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34696 KachelY 35958 0.18484468 -0.30117814 10.590820 -17.256236
    Oben rechts KachelX + 1 34697 KachelY 35958 0.18494056 -0.30117814 10.596314 -17.256236
    Unten links KachelX 34696 KachelY + 1 35959 0.18484468 -0.30126970 10.590820 -17.261482
    Unten rechts KachelX + 1 34697 KachelY + 1 35959 0.18494056 -0.30126970 10.596314 -17.261482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30117814--0.30126970) × R
    9.15599999999905e-05 × 6371000     		dl = 583.32875999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30117814--0.30126970) × R
    9.15599999999905e-05 × 6371000     		dr = 583.32875999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18484468-0.18494056) × cos(-0.30117814) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.954987662019806 × 6371000     		do = 583.355626726493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18484468-0.18494056) × cos(-0.30126970) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.954960497152958 × 6371000     		du = 583.339033027376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30117814)-sin(-0.30126970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954987662019806-0.954960497152958)×R²
    abs(0.18494056-0.18484468)×2.71648668473956e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.71648668473956e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.71648668473956e-05×40589641000000     		ar = 340283.274823946m²