Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34694 / 35963
↖ ↑ ↗
← S 17.282464°
E 10.579834°		 ← 583.21 m → S 17.282464°
E 10.585327°		 →
↑
583.20 m
↓
↑
583.20 m
↓
S 17.287709°
E 10.579834°		 ← 583.20 m →
340 125 m²		 S 17.287709°
E 10.585327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529396057128906 y=0.548759460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529396057128906 × 216)
    floor (0.529396057128906 × 65536)
    floor (34694.5)     		tx = 34694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548759460449219 × 216)
    floor (0.548759460449219 × 65536)
    floor (35963.5)     		ty = 35963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34694 / 35963 ti = "16/34694/35963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34694/35963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34694 ÷ 216
    34694 ÷ 65536     		x = 0.529388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35963 ÷ 216
    35963 ÷ 65536     		y = 0.548751831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529388427734375 × 2 - 1) × π
    0.05877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18465294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548751831054688 × 2 - 1) × π
    -0.097503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.306316788572159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18465294} λ = 0.18465294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306316788572159))-π/2
    2×atan(0.736153377536504)-π/2
    2×0.634580213853066-π/2
    1.26916042770613-1.57079632675     		φ = -0.30163590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18465294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30163590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.282464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34694 KachelY 35963 0.18465294 -0.30163590 10.579834 -17.282464
    Oben rechts KachelX + 1 34695 KachelY 35963 0.18474881 -0.30163590 10.585327 -17.282464
    Unten links KachelX 34694 KachelY + 1 35964 0.18465294 -0.30172744 10.579834 -17.287709
    Unten rechts KachelX + 1 34695 KachelY + 1 35964 0.18474881 -0.30172744 10.585327 -17.287709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30163590--0.30172744) × R
    9.15400000000011e-05 × 6371000     		dl = 583.201340000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30163590--0.30172744) × R
    9.15400000000011e-05 × 6371000     		dr = 583.201340000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18465294-0.18474881) × cos(-0.30163590) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.954851769514585 × 6371000     		do = 583.211782982523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18465294-0.18474881) × cos(-0.30172744) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.95482457056863 × 6371000     		du = 583.195170198977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30163590)-sin(-0.30172744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954851769514585-0.95482457056863)×R²
    abs(0.18474881-0.18465294)×2.71989459551536e-05×R²
    9.58700000000257e-05×2.71989459551536e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×2.71989459551536e-05×40589641000000     		ar = 340125.04927788m²