Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34692 / 102900
↖ ↑ ↗
← S 71.063363°
W 84.715576°		 ← 99.12 m → S 71.063363°
W 84.712829°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
S 71.064255°
W 84.715576°		 ← 99.11 m →
9 826 m²		 S 71.064255°
W 84.712829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264682769775391 y=0.785068511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264682769775391 × 217)
    floor (0.264682769775391 × 131072)
    floor (34692.5)     		tx = 34692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785068511962891 × 217)
    floor (0.785068511962891 × 131072)
    floor (102900.5)     		ty = 102900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34692 / 102900 ti = "17/34692/102900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34692/102900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34692 ÷ 217
    34692 ÷ 131072     		x = 0.264678955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102900 ÷ 217
    102900 ÷ 131072     		y = 0.785064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264678955078125 × 2 - 1) × π
    -0.47064208984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47856573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785064697265625 × 2 - 1) × π
    -0.57012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79111431740378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47856573} λ = -1.47856573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79111431740378))-π/2
    2×atan(0.166774226663246)-π/2
    2×0.165253328558547-π/2
    0.330506657117095-1.57079632675     		φ = -1.24028967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47856573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.715576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24028967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.063363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34692 KachelY 102900 -1.47856573 -1.24028967 -84.715576 -71.063363
    Oben rechts KachelX + 1 34693 KachelY 102900 -1.47851779 -1.24028967 -84.712829 -71.063363
    Unten links KachelX 34692 KachelY + 1 102901 -1.47856573 -1.24030523 -84.715576 -71.064255
    Unten rechts KachelX + 1 34693 KachelY + 1 102901 -1.47851779 -1.24030523 -84.712829 -71.064255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24028967--1.24030523) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24028967--1.24030523) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47856573--1.47851779) × cos(-1.24028967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324522305564869 × 6371000     		do = 99.1174653235912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47856573--1.47851779) × cos(-1.24030523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324507587663227 × 6371000     		du = 99.1129700975909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24028967)-sin(-1.24030523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324522305564869-0.324507587663227)×R²
    abs(-1.47851779--1.47856573)×1.47179016420362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47179016420362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47179016420362e-05×40589641000000     		ar = 9825.56508982885m²