Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34691 / 35955
↖ ↑ ↗
← S 17.240498°
E 10.563355°		 ← 583.34 m → S 17.240498°
E 10.568848°		 →
↑
583.39 m
↓
↑
583.39 m
↓
S 17.245744°
E 10.563355°		 ← 583.33 m →
340 314 m²		 S 17.245744°
E 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529350280761719 y=0.548637390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529350280761719 × 216)
    floor (0.529350280761719 × 65536)
    floor (34691.5)     		tx = 34691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548637390136719 × 216)
    floor (0.548637390136719 × 65536)
    floor (35955.5)     		ty = 35955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34691 / 35955 ti = "16/34691/35955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34691/35955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34691 ÷ 216
    34691 ÷ 65536     		x = 0.529342651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35955 ÷ 216
    35955 ÷ 65536     		y = 0.548629760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529342651367188 × 2 - 1) × π
    0.058685302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18436532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548629760742188 × 2 - 1) × π
    -0.097259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.305549798178238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18436532} λ = 0.18436532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.305549798178238))-π/2
    2×atan(0.736718216690939)-π/2
    2×0.634946436609937-π/2
    1.26989287321987-1.57079632675     		φ = -0.30090345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18436532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.563355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30090345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.240498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34691 KachelY 35955 0.18436532 -0.30090345 10.563355 -17.240498
    Oben rechts KachelX + 1 34692 KachelY 35955 0.18446119 -0.30090345 10.568848 -17.240498
    Unten links KachelX 34691 KachelY + 1 35956 0.18436532 -0.30099502 10.563355 -17.245744
    Unten rechts KachelX + 1 34692 KachelY + 1 35956 0.18446119 -0.30099502 10.568848 -17.245744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30090345--0.30099502) × R
    9.15699999999853e-05 × 6371000     		dl = 583.392469999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30090345--0.30099502) × R
    9.15699999999853e-05 × 6371000     		dr = 583.392469999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18436532-0.18446119) × cos(-0.30090345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955069111547961 × 6371000     		do = 583.344532838248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18436532-0.18446119) × cos(-0.30099502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.955041967735619 × 6371000     		du = 583.327953729638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30090345)-sin(-0.30099502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955069111547961-0.955041967735619)×R²
    abs(0.18446119-0.18436532)×2.71438123423673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71438123423673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71438123423673e-05×40589641000000     		ar = 340313.97204786m²