Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34691 / 102909
↖ ↑ ↗
← S 71.071384°
W 84.718323°		 ← 99.08 m → S 71.071384°
W 84.715576°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.072275°
W 84.718323°		 ← 99.07 m →
9 815 m²		 S 71.072275°
W 84.715576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264675140380859 y=0.785137176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264675140380859 × 217)
    floor (0.264675140380859 × 131072)
    floor (34691.5)     		tx = 34691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785137176513672 × 217)
    floor (0.785137176513672 × 131072)
    floor (102909.5)     		ty = 102909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34691 / 102909 ti = "17/34691/102909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34691/102909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34691 ÷ 217
    34691 ÷ 131072     		x = 0.264671325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102909 ÷ 217
    102909 ÷ 131072     		y = 0.785133361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264671325683594 × 2 - 1) × π
    -0.470657348632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.47861367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785133361816406 × 2 - 1) × π
    -0.570266723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.79154574950036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47861367} λ = -1.47861367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79154574950036))-π/2
    2×atan(0.166702290427897)-π/2
    2×0.165183338171257-π/2
    0.330366676342514-1.57079632675     		φ = -1.24042965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47861367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.718323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24042965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.071384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34691 KachelY 102909 -1.47861367 -1.24042965 -84.718323 -71.071384
    Oben rechts KachelX + 1 34692 KachelY 102909 -1.47856573 -1.24042965 -84.715576 -71.071384
    Unten links KachelX 34691 KachelY + 1 102910 -1.47861367 -1.24044520 -84.718323 -71.072275
    Unten rechts KachelX + 1 34692 KachelY + 1 102910 -1.47856573 -1.24044520 -84.715576 -71.072275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24042965--1.24044520) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dl = 99.0690499991353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24042965--1.24044520) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dr = 99.0690499991353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47861367--1.47856573) × cos(-1.24042965) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.324389898377361 × 6371000     		do = 99.0770247608241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47861367--1.47856573) × cos(-1.24044520) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.324375189228326 × 6371000     		du = 99.0725322080953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24042965)-sin(-1.24044520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324389898377361-0.324375189228326)×R²
    abs(-1.47856573--1.47861367)×1.47091490350082e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.47091490350082e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.47091490350082e-05×40589641000000     		ar = 9815.24418349905m²