Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34690 / 36222
↖ ↑ ↗
← S 18.635835°
E 10.557861°		 ← 578.82 m → S 18.635835°
E 10.563355°		 →
↑
578.81 m
↓
↑
578.81 m
↓
S 18.641040°
E 10.557861°		 ← 578.81 m →
335 021 m²		 S 18.641040°
E 10.563355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529335021972656 y=0.552711486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529335021972656 × 216)
    floor (0.529335021972656 × 65536)
    floor (34690.5)     		tx = 34690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552711486816406 × 216)
    floor (0.552711486816406 × 65536)
    floor (36222.5)     		ty = 36222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34690 / 36222 ti = "16/34690/36222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34690/36222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34690 ÷ 216
    34690 ÷ 65536     		x = 0.529327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36222 ÷ 216
    36222 ÷ 65536     		y = 0.552703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529327392578125 × 2 - 1) × π
    0.05865478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18426944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.331148102575348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18426944} λ = 0.18426944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331148102575348))-π/2
    2×atan(0.718098808881708)-π/2
    2×0.622769822196035-π/2
    1.24553964439207-1.57079632675     		φ = -0.32525668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18426944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32525668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.635835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34690 KachelY 36222 0.18426944 -0.32525668 10.557861 -18.635835
    Oben rechts KachelX + 1 34691 KachelY 36222 0.18436532 -0.32525668 10.563355 -18.635835
    Unten links KachelX 34690 KachelY + 1 36223 0.18426944 -0.32534753 10.557861 -18.641040
    Unten rechts KachelX + 1 34691 KachelY + 1 36223 0.18436532 -0.32534753 10.563355 -18.641040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32525668--0.32534753) × R
    9.08499999999757e-05 × 6371000     		dl = 578.805349999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32525668--0.32534753) × R
    9.08499999999757e-05 × 6371000     		dr = 578.805349999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18426944-0.18436532) × cos(-0.32525668) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.947568735018757 × 6371000     		do = 578.823764187891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18426944-0.18436532) × cos(-0.32534753) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.947539699807447 × 6371000     		du = 578.806027986091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32525668)-sin(-0.32534753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947568735018757-0.947539699807447)×R²
    abs(0.18436532-0.18426944)×2.90352113094805e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.90352113094805e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.90352113094805e-05×40589641000000     		ar = 335021.158745063m²