Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3469 / 2678
↖ ↑ ↗
← N 52.749594°
W 27.553711°		 ← 2 957.79 m → N 52.749594°
W 27.509766°		 →
↑
2 958.69 m
↓
↑
2 958.69 m
↓
N 52.722986°
W 27.553711°		 ← 2 959.60 m →
8 753 870 m²		 N 52.722986°
W 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42352294921875 y=0.32696533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42352294921875 × 213)
    floor (0.42352294921875 × 8192)
    floor (3469.5)     		tx = 3469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32696533203125 × 213)
    floor (0.32696533203125 × 8192)
    floor (2678.5)     		ty = 2678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3469 / 2678 ti = "13/3469/2678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3469/2678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3469 ÷ 213
    3469 ÷ 8192     		x = 0.4234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2678 ÷ 213
    2678 ÷ 8192     		y = 0.326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326904296875 × 2 - 1) × π
    0.34619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08759237857983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48090298} λ = -0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08759237857983))-π/2
    2×atan(2.96712176008183)-π/2
    2×1.24572520819853-π/2
    2.49145041639706-1.57079632675     		φ = 0.92065409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92065409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.749594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3469 KachelY 2678 -0.48090298 0.92065409 -27.553711 52.749594
    Oben rechts KachelX + 1 3470 KachelY 2678 -0.48013599 0.92065409 -27.509766 52.749594
    Unten links KachelX 3469 KachelY + 1 2679 -0.48090298 0.92018969 -27.553711 52.722986
    Unten rechts KachelX + 1 3470 KachelY + 1 2679 -0.48013599 0.92018969 -27.509766 52.722986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92065409-0.92018969) × R
    0.000464400000000031 × 6371000     		dl = 2958.6924000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92065409-0.92018969) × R
    0.000464400000000031 × 6371000     		dr = 2958.6924000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48090298--0.48013599) × cos(0.92065409) × R
    0.000766989999999967 × 0.605299632021777 × 6371000     		do = 2957.79259031376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48090298--0.48013599) × cos(0.92018969) × R
    0.000766989999999967 × 0.605669228073663 × 6371000     		du = 2959.59861894131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92065409)-sin(0.92018969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605299632021777-0.605669228073663)×R²
    abs(-0.48013599--0.48090298)×0.000369596051886245×R²
    0.000766989999999967×0.000369596051886245×6371000²
    0.000766989999999967×0.000369596051886245×40589641000000     		ar = 8753870.3566522m²