Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34689 / 36235
↖ ↑ ↗
← S 18.703489°
E 10.552368°		 ← 578.53 m → S 18.703489°
E 10.557861°		 →
↑
578.55 m
↓
↑
578.55 m
↓
S 18.708692°
E 10.552368°		 ← 578.51 m →
334 705 m²		 S 18.708692°
E 10.557861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529319763183594 y=0.552909851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529319763183594 × 216)
    floor (0.529319763183594 × 65536)
    floor (34689.5)     		tx = 34689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552909851074219 × 216)
    floor (0.552909851074219 × 65536)
    floor (36235.5)     		ty = 36235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34689 / 36235 ti = "16/34689/36235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34689/36235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34689 ÷ 216
    34689 ÷ 65536     		x = 0.529312133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36235 ÷ 216
    36235 ÷ 65536     		y = 0.552902221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529312133789062 × 2 - 1) × π
    0.058624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18417357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552902221679688 × 2 - 1) × π
    -0.105804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.332394461965469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18417357} λ = 0.18417357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.332394461965469))-π/2
    2×atan(0.717204357208132)-π/2
    2×0.622179434315068-π/2
    1.24435886863014-1.57079632675     		φ = -0.32643746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18417357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.552368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32643746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.703489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34689 KachelY 36235 0.18417357 -0.32643746 10.552368 -18.703489
    Oben rechts KachelX + 1 34690 KachelY 36235 0.18426944 -0.32643746 10.557861 -18.703489
    Unten links KachelX 34689 KachelY + 1 36236 0.18417357 -0.32652827 10.552368 -18.708692
    Unten rechts KachelX + 1 34690 KachelY + 1 36236 0.18426944 -0.32652827 10.557861 -18.708692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32643746--0.32652827) × R
    9.08099999999967e-05 × 6371000     		dl = 578.550509999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32643746--0.32652827) × R
    9.08099999999967e-05 × 6371000     		dr = 578.550509999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18417357-0.18426944) × cos(-0.32643746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947190753904533 × 6371000     		do = 578.532528341956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18417357-0.18426944) × cos(-0.32652827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947161629895954 × 6371000     		du = 578.514739753703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32643746)-sin(-0.32652827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947190753904533-0.947161629895954)×R²
    abs(0.18426944-0.18417357)×2.91240085782407e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91240085782407e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91240085782407e-05×40589641000000     		ar = 334705.143755462m²