Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3468 / 2677
↖ ↑ ↗
← N 52.776186°
W 27.597656°		 ← 2 955.99 m → N 52.776186°
W 27.553711°		 →
↑
2 956.91 m
↓
↑
2 956.91 m
↓
N 52.749594°
W 27.597656°		 ← 2 957.79 m →
8 743 253 m²		 N 52.749594°
W 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42340087890625 y=0.32684326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42340087890625 × 213)
    floor (0.42340087890625 × 8192)
    floor (3468.5)     		tx = 3468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32684326171875 × 213)
    floor (0.32684326171875 × 8192)
    floor (2677.5)     		ty = 2677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3468 / 2677 ti = "13/3468/2677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3468/2677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3468 ÷ 213
    3468 ÷ 8192     		x = 0.42333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2677 ÷ 213
    2677 ÷ 8192     		y = 0.3267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3267822265625 × 2 - 1) × π
    0.346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08835936897375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48166997} λ = -0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08835936897375))-π/2
    2×atan(2.96939838693327)-π/2
    2×1.24595726684619-π/2
    2.49191453369237-1.57079632675     		φ = 0.92111821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92111821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.776186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3468 KachelY 2677 -0.48166997 0.92111821 -27.597656 52.776186
    Oben rechts KachelX + 1 3469 KachelY 2677 -0.48090298 0.92111821 -27.553711 52.776186
    Unten links KachelX 3468 KachelY + 1 2678 -0.48166997 0.92065409 -27.597656 52.749594
    Unten rechts KachelX + 1 3469 KachelY + 1 2678 -0.48090298 0.92065409 -27.553711 52.749594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92111821-0.92065409) × R
    0.000464120000000068 × 6371000     		dl = 2956.90852000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92111821-0.92065409) × R
    0.000464120000000068 × 6371000     		dr = 2956.90852000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48166997--0.48090298) × cos(0.92111821) × R
    0.000766990000000023 × 0.604930128384539 × 6371000     		do = 2955.98701326998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48166997--0.48090298) × cos(0.92065409) × R
    0.000766990000000023 × 0.605299632021777 × 6371000     		du = 2957.79259031397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92111821)-sin(0.92065409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604930128384539-0.605299632021777)×R²
    abs(-0.48090298--0.48166997)×0.000369503637238089×R²
    0.000766990000000023×0.000369503637238089×6371000²
    0.000766990000000023×0.000369503637238089×40589641000000     		ar = 8743252.80456793m²