Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34666 / 102972
↖ ↑ ↗
← S 71.127434°
W 84.786987°		 ← 98.79 m → S 71.127434°
W 84.784240°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 71.128323°
W 84.786987°		 ← 98.79 m →
9 756 m²		 S 71.128323°
W 84.784240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264484405517578 y=0.785617828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264484405517578 × 217)
    floor (0.264484405517578 × 131072)
    floor (34666.5)     		tx = 34666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785617828369141 × 217)
    floor (0.785617828369141 × 131072)
    floor (102972.5)     		ty = 102972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34666 / 102972 ti = "17/34666/102972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34666/102972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34666 ÷ 217
    34666 ÷ 131072     		x = 0.264480590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102972 ÷ 217
    102972 ÷ 131072     		y = 0.785614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264480590820312 × 2 - 1) × π
    -0.471038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47981209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.57122802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79456577417642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47981209} λ = -1.47981209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79456577417642))-π/2
    2×atan(0.166199604840752)-π/2
    2×0.164694204490923-π/2
    0.329388408981847-1.57079632675     		φ = -1.24140792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47981209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.786987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24140792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.127434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34666 KachelY 102972 -1.47981209 -1.24140792 -84.786987 -71.127434
    Oben rechts KachelX + 1 34667 KachelY 102972 -1.47976415 -1.24140792 -84.784240 -71.127434
    Unten links KachelX 34666 KachelY + 1 102973 -1.47981209 -1.24142342 -84.786987 -71.128323
    Unten rechts KachelX + 1 34667 KachelY + 1 102973 -1.47976415 -1.24142342 -84.784240 -71.128323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24140792--1.24142342) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24140792--1.24142342) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47981209--1.47976415) × cos(-1.24140792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323464374758359 × 6371000     		do = 98.7943460241442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47981209--1.47976415) × cos(-1.24142342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323449707994092 × 6371000     		du = 98.7898664168147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24140792)-sin(-1.24142342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323464374758359-0.323449707994092)×R²
    abs(-1.47976415--1.47981209)×1.46667642665355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46667642665355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46667642665355e-05×40589641000000     		ar = 9755.76988545891m²