Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3466 / 2681
↖ ↑ ↗
← N 52.669721°
W 27.685547°		 ← 2 963.21 m → N 52.669721°
W 27.641602°		 →
↑
2 964.11 m
↓
↑
2 964.11 m
↓
N 52.643064°
W 27.685547°		 ← 2 965.02 m →
8 785 959 m²		 N 52.643064°
W 27.641602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42315673828125 y=0.32733154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42315673828125 × 213)
    floor (0.42315673828125 × 8192)
    floor (3466.5)     		tx = 3466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32733154296875 × 213)
    floor (0.32733154296875 × 8192)
    floor (2681.5)     		ty = 2681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3466 / 2681 ti = "13/3466/2681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3466/2681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3466 ÷ 213
    3466 ÷ 8192     		x = 0.423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2681 ÷ 213
    2681 ÷ 8192     		y = 0.3272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.15380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48320395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3272705078125 × 2 - 1) × π
    0.345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08529140739807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48320395} λ = -0.48320395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08529140739807))-π/2
    2×atan(2.96030234706428)-π/2
    2×1.24502818178811-π/2
    2.49005636357622-1.57079632675     		φ = 0.91926004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48320395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91926004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.669721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3466 KachelY 2681 -0.48320395 0.91926004 -27.685547 52.669721
    Oben rechts KachelX + 1 3467 KachelY 2681 -0.48243696 0.91926004 -27.641602 52.669721
    Unten links KachelX 3466 KachelY + 1 2682 -0.48320395 0.91879479 -27.685547 52.643064
    Unten rechts KachelX + 1 3467 KachelY + 1 2682 -0.48243696 0.91879479 -27.641602 52.643064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91926004-0.91879479) × R
    0.000465249999999973 × 6371000     		dl = 2964.10774999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91926004-0.91879479) × R
    0.000465249999999973 × 6371000     		dr = 2964.10774999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48320395--0.48243696) × cos(0.91926004) × R
    0.000766989999999967 × 0.606408704108881 × 6371000     		do = 2963.21206362552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48320395--0.48243696) × cos(0.91879479) × R
    0.000766989999999967 × 0.606778583453547 × 6371000     		du = 2965.01947656134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91926004)-sin(0.91879479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606408704108881-0.606778583453547)×R²
    abs(-0.48243696--0.48320395)×0.00036987934466548×R²
    0.000766989999999967×0.00036987934466548×6371000²
    0.000766989999999967×0.00036987934466548×40589641000000     		ar = 8785958.68451232m²